5.13. Свойства и вычисление определенных интегралов

Начнем с того, что введем понятие определенного интеграла без привязки его к каким-либо геометрическим, физическим и экономическим задачам (что было сделано в предыдущем параграфе). То есть введем его сугубо математически.

Пусть - некоторая непрерывная функция, заданная на некотором числовом промежутке [А; B] оси Ox. Разобьем его на бесконечно большое число бесконечно малых участков длиной и выберем на каждом некоторую точку . Так как каждый из этих участков бесконечно мал (то есть фактически представляет собой точку), то и есть эта точка (5.5). Тогда - бесконечно малое число (смысл его зависит от смысла функции и может быть самым разным - см. предыдущий параграф). А сумма всех этих бесконечно малых чисел Называется Определенным интегралом

(4.1)

От функции с пределами интегрирования и (нижним и верхним).

Ниже мы покажем, что при непрерывной подинтегральной функции и конечных пределах интегрирования А и B определенный интеграл (4.1) заведомо существует (представляет собой некоторое конечное число ). То есть при указанных условиях

- число. 4.2)

Равенство (4.2) будем считать Математическим определением определенного интеграла. Определенным он называется потому, что в отличие от неопределенного интеграла , представляющего собой бесчисленное множество функций, он представляет собой вполне определенное число. Таким образом, несмотря на внешнее сходство в обозначениях определенного и неопределенного интегралов, это совершенно разные вещи. Впрочем, как это ни удивительно, между ними имеется связь. Но об этом – в конце параграфа.

А сейчас подтвердим, что в случае непрерывной подынтегральной функции и конечных пределов интегрирования определенный интеграл (4.1) действительно представляет собой некоторое конечное число. Для этого рассмотрим все возможные случаи относительно функции .

А) Пусть непрерывная функция Для всех . Тогда, согласно (3.4), определенный интеграл (4.1) можно представлять себе как площадь криволинейной трапеции (рис. 5.6). И эта площадь S Заведомо представляет собой число:

- число (4.3)

 

 

 

 

 

Б) Пусть непрерывная функция Для всех . Тогда функция для всех (см. рис. 5.7). В этом случае

(4.4)

То есть и в этом случае - число (только отрицательное). А именно, этот интеграл, как и в случае (а), представляет собой площадь криволинейной трапеции, заключенной между осью Ох и графиком функции , только со знаком минус (рис. 5.8):

(4.5)

 

 

 

В) Наконец, если на части отрезка функция, а на другой части этого отрезка функция (рис 5.9), то

То есть и в этом случае представляет собой число.

Итак, подтверждение получено: Для любой непрерывной на конечном промежутке Функции F(X) определенный интеграл существует (представляет собой некоторое число).

Заметим, что определенные интегралы рассматривают и для разрывных подынтегральных функций, а также тогда, когда пределы интегрирования бесконечные. В таких случаях определенные интегралы могут и не существовать. Об этих интегралах мы поговорим позднее, в §6.

< Предыдущая		Следующая >