5.02. Основные свойства неопределенных интегралов

1.Производная от неопределенного интеграла равна подинтегральной функции:

(1.5)

Доказательство. Используя (1.3) и (1.4), получим:

2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

(1.6)

Доказательство. Вспоминая формулу для нахождения дифференциала функции (формулу (5.7) главы 4), получим:

3. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс неопределенная константа:

(1.7)

Доказательство:

.

4. Нахождение функции по ее дифференциалу :

Если , то . (1.8)

Доказательство. Если , то . А это значит, что функция является первообразной для функции . Но этих первообразных для функции имеется бесчисленное количество, и все они находятся посредством вычисления .

Примечание. Функция определяется по формуле (1.8) неоднозначно – она определяется с точностью до неопределенной константы С, которая появится после вычисления . Поэтому для однозначного определения функции по ее дифференциалу нужно задать некоторое дополнительное условие для этой функции. Таким условием, в частности, может быть следующее условие: , где и - заданные числа.

Пример 3. Найти функцию , если известно, что и что .

Решение. Используя (1.8), получаем:

.

Мы получили бесчисленное множество функций :

(С - неопределенная константа).

Константу С найдем из дополнительного условия :

.

Таким образом, получаем окончательно: .

5. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:

(K – константа, K) (1.9)

Доказательство. Рассмотрим правую часть равенства (1.9):

,

Где - неопределенная константа (если K). Таким образом, равенство (1.9) принимает вид:

.

А это равенство верно, что подтверждает его проверка:

6. Неопределенный интеграл от суммы (разности) функций равен сумме (разности) интегралов от этих функций:

(1.10)

Доказательство. Вычисляя правую часть равенства (1.10), получаем:

…= =

=

Где

.

Таким образом, доказываемое равенство (1.10) принимает вид:

= F(X) + C

И оно верно, так как

< Предыдущая		Следующая >