5.01. Интегральное исчисление. Первообразная для функции и неопределенный интеграл от нее

Интегральное исчисление, наряду с дифференциальным исчислением, принадлежит к числу важнейших составляющих высшей математики (вместе они составляют так называемый Математический анализ). Это исчисление базируется на понятиях неопределенного и определенного интегралов, введенных в математику Ньютоном и Лейбницем в конце 17-го века параллельно с введением ими же понятий производных и дифференциалов функций.

В дифференциальном исчислении ставилась задача: для данной функции найти ее производную. В интегральном исчислении ставится обратная задача: по производной функции найти саму функцию.

Пусть Y = F(X) – некоторая заданная функция.

Определение. Всякая функция y=F(X), производная которой совпадает с функцией Y = F(X) , называется первообразной для функции Y = F(X). То есть если , то функция будет первообразной для функции F(X) (а F(X) Будет производной от своей первообразной F(X)).

Пример1. Функция является первообразной для функции , так как .

Отметим, что функция - не единственная первообразная для функции . В самом деле, любая функция вида + С, где С – произвольная (неопределенная) константа, тоже будет первообразной для функции . Действительно, .

И вообще, если F(X) – первообразная для заданной функции F(X), то и все функции вида F(X)+C, где С - Неопределенная константа, тоже будут первообразными для функции F(X). Действительно, если , то и .

Таким образом, найдя какую-либо первообразную F(X) для данной функции F(X), мы сразу можем записать для нее и множество других первообразных:

F(X) + C (С - Неопределенная константа) (1.1)

Более того, мы сейчас докажем, что выражение (1.1) дает Множество всех первообразных для функции F(X).

Действительно, пусть F(X) – какая-либо конкретная первообразная для функции F(X), а – любая другая первообразная для этой же функции F(X). Образуем новую функцию и найдем ее производную:

Как оказалось, эта функция имеет нулевую производную для любого . Но, как известно, производная функции характеризует скорость изменения функции. Значит, скорость изменения функции для любого равна нулю. А это значит, что при изменении функция не меняется (сохраняет постоянное значение).То есть , где С - некоторая постоянная. Таким образом, , откуда . То есть действительно любая первообразная для функции находится среди функций (1.1). Иначе говоря, множество функций (1.1) действительно представляет собой Множество всех первообразных для функций . то множество Лейбниц обозначил специальным символом

(1.2)

И назвал Неопределенным интегралом от функции . Здесь знак - Знак неопределенного интеграла; - подинтегральная функция; - подинтегральное выражение; - переменная интегрирования.

Так как выражение (1.2) - это лишь другое обозначение выражения (1.1), то можно записать:

(1.3)

Таким образом, Отыскивая (вычисляя) неопределенный интеграл , мы тем самым ищем все первообразные для подинтегральной функции . То есть ищем все функции, производные от которых равны . Эти функции (их бесчисленное множество) представляют собой сумму конкретной функции (конкретной первообразной для ) и неопределенной константы С, которой можно придать любое значение. Из-за наличия этой неопределенной константы в равенстве (1.3) и результат вычисления неопределенного интеграла оказывается неопределенным. Отсюда и термин: неопределенный интеграл.

Если неопределенный интеграл найден верно (то есть множество всех первообразных для функции найдено верно), то должно выполняться Проверочное для (1.3) равенство:

(1.4)

Пример 2.

- верно, так как .

- неверно, так как .

< Предыдущая		Следующая >