4.15. Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба

Понятие о выпуклости, вогнутости и точках перегиба функции дадим, исходя из рис. 4.14. На этом рисунке изображен график функции, выпуклой на интервале , вогнутой на интервале , и Y которой точка X0, разделяющая интервалы выпуклости и вогнутости, есть Точка перегиба функции. Кстати, точка M0 называется Точкой перегиба графика функции (не путать точку перегиба функции X0 и точку перегиба её графика M0). Интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба функции – важные характеристики любой функции, поэтому полезно уметь их находить.

Рассмотрим подробнее функцию на ее интервале выпуклости (рис. 4.15 (а)) и на ее интервале вогнутости (рис. 4.15 (б)).

Для выпуклой функции (рис. 4.15 (а)) касательная к ее графику в любой его точке расположена выше графика, причем с увеличением абсциссы X точки касания эта касательная поворачивается по часовой стрелке. Это значит, что с увеличением X угол Наклона касательной к оси Ох уменьшается. Но тогда уменьшается и угловой коэффициент касательной . А значит, с увеличением X уменьшается (убывает) равная ему производная функции . Но если некая функция убывает, то, как мы знаем, ее производная отрицательна. Значит, на всем интервале выпуклости функции .

Аналогичное рассуждение приводит к выводу, что если функция вогнута на некотором интервале (см. рис. 4.15 (б)), то для любого X из этого интервала (проведите это рассуждение самостоятельно).

Верно, естественно, и обратное: если на некотором интервале оси Ох вторая производная функции положительна, то функция вогнута на этом интервале. А если эта производная отрицательна – то функция выпукла на указанном интервале.

Теперь перейдем к точкам перегиба функции. Так как эти точки разграничивают интервалы выпуклости и вогнутости и, следовательно, не принадлежат ни тем, ни другим, то в точках перегиба вторая производная функции не может быть ни положительной, ни отрицательной. А значит, в этих точках она или равна нулю, или не существует.

Но не все точки X, в которых или не существует, непременно должны быть точками перегиба. Точками перегиба будут лишь те из них, в которых вторая производная меняет знак (с (+) на (–) или с (–) на (+)). Таким образом, точки оси Ох, в которых или не существует, являются лишь Подозрительными на перегиб. Окончательное выяснение сути этих точек производится после исследования знака второй производной слева и справа от каждой из них. Из всего сказанного вытекает следующая

< Предыдущая		Следующая >