4.16. Схема исследования функции на выпуклость-вогнутость и точки перегиба

1. Находим область определения функции, а заодно устанавливаем интервалы ее непрерывности и точки разрыва (стандартное начало любого исследования функции).

2. Находим вторую производную .

3. Находим точки (значения X), подозрительные на перегиб. То есть находим те точки (значения X), в которых вторая производная функции или равна нулю, или не существует:

а)

б) не существует

4. Наносим все найденные подозрительные на перегиб точки на область определения функции (на ось Ох) и отмечаем (например, дугами) интервалы, на которые разобьется этими дугами область определения функции. В каждом из этих интервалов выясняем знак второй производной . По установленным знакам этой производной отмечаем интервалы выпуклости и вогнутости функции ((–) – выпуклость, (+) – вогнутость), а также точки перегиба функции.

5. Вычисляем значения функции во всех найденных точках ее перегиба и находим тем самым точки перегиба графика функции.

Пример 3. Исследовать на выпуклость-вогнутость и точки перегиба функцию (в примере 1 она уже исследовалась на возрастание-убывание и точки экстремума).

Решение. Реализуем изложенную выше схему.

1. Функция определена, а следовательно и непрерывна для любых X от до .

2. Найдем :

.

3. Найдем точки (значения X), подозрительные на перегиб:

а) .

б) не существует Þ таких X нет.

4. Нанесем на ось Ох найденную подозрительную на перегиб точку . Ось Ох (область определения функции) разобьется этой точкой на два интервала:

Определяем знаки второй производной в этих интервалах (они отмечены на рис. выше). Тем самым устанавливаем интервалы выпуклости (знак ) и вогнутости (знак ) , а также устанавливаем, что – точка перегиба функции.

5. Вычисляем значение функции в точке ее перегиба и тем самым определим точку перегиба графика функции (она указана на рис. 4.12).

< Предыдущая		Следующая >