4.06. Производная сложной функции

Пусть , а – любые две дифференцируемые функции своих аргументов. Тогда функция – так называемая Сложная функция от X (она представляет собой функцию от функции). Найдем ее производную (производную от Y по X). Для этого дадим аргументу X некоторое приращение , то есть перейдем от X к . Приращение величины X вызовет некоторое приращение величины U, а то, в свою очередь, вызовет некоторое приращение величины Y. Так как функции и являются, по условию, дифференцируемыми функциями своих аргументов, то они являются и непрерывными функциями своих аргументов (см. теорему в § 1). То есть при и , и . А тогда, согласно (1.5), получаем:

Итак, если – сложная функция от X, то . Или, опуская значок X (но подразумевая его) запишем короче:

(2.5)

Формула (2.5) представляет собой Правило вычисления производной (правило дифференцирования) сложной функции.

Собственно говоря, суть правила (2.5) проста. А именно, если функция – простая функция от X (из числа основных элементарных функций, чьи производные содержатся в таблице (2.1)), то ее производная и выглядит, и находится просто: . А если , где – две простых функции, то – уже сложная функция от X. Ее производная по X находится уже по формуле (2.5): сначала находим производную от функции по переменной U (точно так же, как находим производную от функции по переменной X), а затем умножаем ее на производную функции по переменной X.

Чтобы сделать наглядным применение этого правила, приведем таблицу сравнения, содержащую производные некоторых простых и аналогичных им сложных функций от X:

Производные простых функций (X – независимая переменная)	Производные сложных функций ( – любая Дифференцируемая функция)	(2.6)
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4.	4.
5.	5.
6.	6.
(……)	(……)