4.04. Производные основных элементарных функций. Таблица производных. Правила дифференцирования

Опираясь на математическое определение производной (1.6), а также на ее физический (1.7) и геометрический (1.11) смысл, можно найти производные всех основных элементарных функций.

Пример 1. Пусть (С – произвольная константа). Найдем производную этой функции. То есть найдем производную константы С.

Решение. Его можно получить тремя способами.

А) Способ 1 – геометрический.

Графиком функции является горизонтальная прямая. Касательной к этой прямой, проведенной в любой ее точке, будет она сама. Ее угол наклона к оси Ох Равен нулю. Но . Значит, согласно (1.11), .

Б) Способ 2 – физический.

Функция от X не зависит, то есть с изменением X не меняется. А значит, скорость V(X) ее изменения равна нулю. Но ведь скорость изменения функции, согласно (1.7) – это производная функции. Таким образом, если , то . Физический смысл этого вывода очевиден: если координата Y движущейся точки неизменна, то точка стоит. А значит, скорость ее движения равна нулю.

В) Способ 3 – математический.

Воспользуемся математическим определением (1.6) производной функции:

Итак, разными способами получаем один и тот же вывод: если , то .

Пример 2. Пусть . Найдем производную этой функции.

Решение. Его наиболее просто получить геометрическим способом. Графиком функции является прямая, представляющая собой биссектрису первого и третьего координатных углов. Ее угол наклона к оси Ох составляет 45º. Касательная к этой прямой в любой ее точке (при любом X) совпадает с этой же прямой. Поэтому, опираясь на геометрический смысл производной (1.11), получаем: . То есть . Этот же результат, заметим, следует и из математического определения производной (1.6):

Пример 3. Пусть . Найдем производную этой функции.

Решение. Графиком функции является парабола. Касательная к ней в разных ее точках имеет разное направление (разный угол наклона к оси Ох). Поэтому использовать геометрическую формулу (1.11) для нахождения производной этой функции в данном случае затруднительно. Затруднительно использовать и физический смысл производной (1.7). Тогда остается воспользоваться её математическим определением (1.6):

Итак, если , то .

Используя математическое определение производной (1.6), можно найти производные всех основных элементарных функций. Опуская соответствующие выкладки, приведем уже в готовом виде таблицу производных этих функций.

< Предыдущая		Следующая >