3.2. Основные свойства переменных величин и их пределов

Указанные ниже свойства практически очевидны, хотя их можно и строго доказать.

1) Если (переменная X неизменна и равна постоянной A), то естественно считать, что и . То есть предел постоянной равен ей самой:

(1.5)

2) Если , и A и B конечны, то . То есть

(1.6)

(предел суммы или разности переменных равен сумме или разности их пределов).

3) Если , и A и B конечны, то . То есть

(1.7)

(предел произведения переменных равен произведению их пределов).

4) Если , , A и B конечны и , то . То есть

(1.8)

(предел частного равен частному пределов).

5) Если , и – любые постоянные числа, то . То есть

(1.9)

Действительно, на основании предыдущих свойств имеем:

6) Если X – бесконечно малая переменная величина (), то – бесконечно большая переменная величина ().

7) Если X – бесконечно большая переменная величина (), то – бесконечно малая переменная величина ().

8) Если переменная X ограничена (это значит, что все ее значения Xn расположены в некотором конечном числовом промежутке ), а переменная Y бесконечно малая (), то переменная – тоже бесконечно малая ().

9) Если переменная X ограничена, а переменная Y бесконечно большая (), то переменная – бесконечно малая ().

10) Теорема Вейерштрасса.

А) Пусть значения Xn переменной X монотонно возрастают и при этом все они меньше некоторой постоянной величины C. Такая переменная X называется Монотонно возрастающей и ограниченной сверху (числом C). Она заведомо имеет конечный предел A, причем . Наглядную иллюстрацию этой ситуации дает рис. 3.2.

б) Пусть значения Xn переменной X Монотонно убывают и при этом все они больше некоторой постоянной величины C. Такая переменная X называется Монотонно убывающей и ограниченной снизу (числом C). Она заведомо имеет конечный предел A, причем