2.4. Матричный метод

Вернемся к системе (1.1) – к произвольной системе M линейных уравнений с N неизвестными. Таблица коэффициентов при неизвестных

(2.15)

Называется Матрицей коэффициентов при неизвестных. А столбцы

; , (2.16)

Составленные из свободных членов и неизвестных системы (1.1), называются соответственно Матрицей-столбцом (вектором-столбцом) свободных членов системы и Матрицей-столбцом) (вектором-столбцом) неизвестных системы.

Если определить произведение АХ матрицы А на столбец Х как столбец, состоящий из сумм произведений элементов каждой из M строк матрицы А на элементы столбца Х, то систему (1.1) можно записать в виде одного матричного уравнения

(2.17)

Из этого матричного уравнения при заданных матрице А и матрице-столбце В должна быть определена матрица-столбец Х, содержащая неизвестные.

Для решения матричных уравнений типа (2.17) разработана специальная Теория матриц, подробности которой опускаем. В этой теории определены действия с матрицами (сложение матриц, вычитание матриц, умножение их на число, произведение матриц, понятие нулевой и единичной матриц и т. д.). Если матрица А квадратная () и ее определитель не равен нулю, то как показывается в этой теории, можно построить такую матрицу , называемую обратной к матрице А, что

(2.18)

– решение матричного уравнения (2.17), а значит, и решение системы (1.1). Это решение, по сути, равносильно тому, которое в этом случае может быть найдено методом определителей по формулам Крамера.

Например, для системы (1.4), которая в матричной форме имеет вид АХ=С, из этой теории следует:

; ; ; ; (2.19)

Если же матрица А системы (1.1) не квадратная, или она квадратная, но с нулевым определителем , то обратная к ней матрица не существует, и решение матричного уравнения (2.17) в матричной форме найдено быть не может (даже если само решение и существует). Это обстоятельство сильно снижает ценность матричного метода решения систем линейных уравнений. Он, как и метод определителей, не является универсальным методом их решения (в отличие от метода Гаусса). Но зато, когда эти методы могут быть применены (для квадратных систем, имеющих единственное решение), то они позволяют получить это решение по Готовым формулам. А именно, по формулам Крамера в методе определителей, или по формуле (2.18) в матричном методе.

Формулы эти, кстати, легко программируются для ЭВМ и содержатся в любом математическом пакете программ. В ЭВМ нужно лишь ввести матрицу А коэффициентов при неизвестных (квадратную!) и матрицу столбец В свободных членов системы. Все остальное машина сделает сама.

Но если систему приходится решать вручную, то гораздо экономнее решать ее изложенным в § 1 методом последовательного исключения неизвестных (методом Гаусса). Этот метод, отметим еще раз, позволяет получить не только единственное решение квадратной системы с ненулевым главным определителем, но и все решения любой другой системы (если они есть).

Упражнения

1. Методом определителей решить систему

.

Для сравнения решить эту же систему методом Гаусса.

Ответ: ; .

2. Методом определителей решить систему

.

Для сравнения решить эту же систему методом Гаусса.

Ответ: ; ; .

< Предыдущая		Следующая >