2.3. Метод определителей

Этот метод может быть применен лишь к квадратным системам линейных уравнений типа (1.5), да и то не к любым из них. Рассмотрим его на примере простейшей из квадратных систем – на примере системы (1.4).

А) Умножая обе части первого уравнения этой системы на B2, а второго на (–B1) и складывая эти уравнения, получим уравнение–следствие системы (1.4), не содержащее Y:

(2.1)

Б) Умножая обе части первого уравнения системы (1.4) на (–А2), а второго на А1 и складывая эти уравнения, получим уравнение–следствие системы (1.4), не содержащее X:

(2.2)

А теперь введем обозначения:

; ; (2.3)

Число называется Главным определителем системы (1.4). Числа (A1; A2; B1; B2), являющиеся коэффициентами при неизвестных в системе (1.4), называются Элементами Этого определителя. В исходной записи, согласно (2.3), главный определитель системы имеет вид таблицы с двумя строками и двумя столбцами, ограниченными вертикальными линиями, и раскрывается по принципу, указанному в (2.3).

В (2.3) представлены еще два определителя: И . Это – так называемые Определители неизвестных X и Y соответственно. Принцип их формирования очевиден: определитель получается из главного определителя заменой его первого столбца (столбца коэффициентов при неизвестной X в системе (1.4)) на столбец свободных членов этой системы. А определитель получается из главного определителя заменой его второго столбца (столбца коэффициентов при неизвестной Y в системе (1.4)) на столбец свободных членов этой системы. Раскрываются (вычисляются) определители неизвестных И по тому же принципу, что и главный определитель системы .

С учетом обозначений (2.3) уравнения – следствия (2.1) и (2.2) системы (1.4) примут вид:

(2.4)

Сразу обратим внимание на то, что система (2.4), являясь следствием исходной системы (1.4), вообще говоря, не равносильна последней. То есть каждое решение системы (1.4) будет и решением системы (2.4), но не каждое решение системы (2.4) будет решением исходной системы (1.4).

В частности, это совершенно очевидно, если . В этом случае система (2.4) удовлетворяется абсолютно при любых (X; Y). То есть ее решениями являются все точки (X; Y) плоскости Xoy. А исходная система (1.4), при решении которой определяются точки пересечения некоторых двух прямых на плоскости Хоу, ни при каком случае не может иметь в качестве своих решений любые точки этой плоскости.

Однако если , то при любых возможных значениях И системы (2.4) и (1.4) равносильны. Действительно, в случае система (2.4) имеет единственное решение

(2.5)

Формулы (2.5), выражающие это решение, называются Формулами Крамера. Подставляя эти значения X и Y в уравнения исходной системы (1.4) (проделайте это самостоятельно), убеждаемся, что оба ее уравнения удовлетворяются. То есть значения (X; Y), определяемые по формулам Крамера (2.5), являются решением исходной системы (1.4). И это решение будет для нее единственным, так как оно является единственным и для системы (2.4), являющейся следствием исходной системы.

Если же , но или , то системы (1.4) и (2.4) тоже равносильны: обе они не имеют решений. Действительно, в этом случае заведомо не имеет решений система (2.4), а значит, не может их иметь и исходная система (1.4).

Наконец, рассмотрим подробно случай, когда ; ; , то есть тот случай, когда системы (1.4) и (2.4) заведомо не равносильны. Итак, пусть одновременно

(2.6)

Отметим, что из четырех элементов (A1; A2; B1; B2) главного определителя системы хотя бы один заведомо не нуль, иначе в исходной системе (1.4) просто не останется неизвестных и система потеряет смысл. Пусть, например, этот ненулевой элемент есть А1. Тогда из первого равенства системы (2.6) получаем:

Подставляя выражения и в два других уравнения системы (2.6), получим:

Так как во втором из этих равенств , то . При этом автоматически выполняется и первое равенство. Итак, имеем:

; ; (2.7)

А) Если , то , и в системе (1.4) пропадет второе уравнение. Оставшееся первое уравнение имеет, очевидно, бесчисленное множество решений:

(2.8)

Б) Если , то подставляя выражения (2.7) во второе уравнение исходной системы (1.4) и сокращая обе его части на , получим в системе (1.4) два одинаковых уравнения:

(2.9)

Эта система равносильна одному уравнению , которое опять имеет бесчисленное множество решений, выражаемое формулами (2.8).

Подведем итог решения системы (1.4) методом определителей.

1) Если ее главный определитель , то она имеет единственное решение, выражаемое формулами Крамера (2.5).

2) Если , но хотя бы один из определителей неизвестных, или , отличен от нуля, то система не имеет решений.

3) Если , а также , то система (1.4) вырождается в одно уравнение с двумя неизвестными и, таким образом, имеет бесчисленное множество решений.

Метод определителей может быть применен и к квадратной системе линейных уравнений типа (1.5) любого порядка N. Пусть, например,

(2.10)

– квадратная система линейных уравнений 3-го порядка. По той же схеме, по которой из системы (1.4) выделялись уравнения (2.1) и (2.2), содержащие лишь по одной неизвестной, мы можем и из системы (2.10) выделить такие уравнения. Если это сделать (выкладки опускаем), то из системы (2.10) получим систему вида

, (2.11)

Являющуюся системой-следствием системы (2.10) и аналогом системы (2.4) для системы (1.4). Здесь

(2.12)

– так называемый Главный определитель системы (2.10). Он, как и главный определитель (2.3) системы (1.4), состоит из коэффициентов при неизвестных. Но он, в отличие от определителей (2.3), не второго, а Третьего порядка. Схема его вычисления указана в формуле (2.12).

Формулу эту легко усвоить: нужно взять элементы первой строки определителя , последовательно умножить их на так называемые Миноры этих элементов, то есть на определители меньшего (второго) порядка, получающиеся из определителя вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент, и затем сложить все эти произведения, взяв лишь второе из них с обратным знаком. Такое вычисление определителя третьего порядка называется Разложением его по первой строке.

Это вычисление существенно упрощается, если в первой строке определителя имеются нули. Если же их там нет, то можно, при желании, их там и образовать, если использовать Свойства определителей. Перечислим некоторые из них (приведенные ниже свойства справедливы для определителей любого порядка):

1. Если поменять местами любые две строки или любые два столбца между собой, то знак определителя изменится на противоположный.

2. Если поменять местами строки и столбцы определителя (провести так называемое Транспонирование определителя), то его величина не изменится.

3. Если к элементам какой-либо строки или столбца определителя прибавить соответственно другую строку или столбец этого же определителя, все элементы которой (которого) умножить предварительно на произвольное число, то величина определителя не изменится.

4. Если у определителя имеются две одинаковых строки или два одинаковых столбца, то этот определитель равен нулю.

5. Если у определителя какая-то строка или столбец целиком состоит из одних нулей, то этот определитель равен нулю.

Для определителей второго и третьего порядка все эти свойства можно подтвердить, опираясь на правила (2.3) и (2.12) их вычисления, но на этом не останавливаемся (попробуйте сделать это самостоятельно).

В системе (2.11) фигурируют еще три определителя третьего порядка – Определители неизвестных , и :

; ; (2.13)

Схема их формирования очевидна: чтобы записать определитель какой-либо неизвестной, нужно взять за основу главный определитель системы и заменить в нем столбец коэффициентов при этой неизвестной столбцом свободных членов системы (2.10). Вычисляются они по той же схеме (2.12), что и главный определитель .

Связь систем (2.10) и (2.11) аналогична связи систем (1.4) и (2.4). А именно:

1) Если , то система (2.10), как и система (2.11), имеет единственное решение, определяемое Формулами Крамера:

; ; . (2.14)

2) Если , но хотя бы один из определителей неизвестных , или отличен от нуля, то система (2.11) не имеет решений, а вместе с ней не имеет решений и система (2.10).

3) Если и также , то, как показывает дополнительный анализ, система (2.10) или не имеет решений, или имеет их бесчисленное множество. Какой из этих двух вариантов будет иметь место - можно выяснить, решив систему. Например, методом Гаусса.

Все, что сказано выше о применении метода определителей к решению квадратных линейных систем второго и третьего порядков, по аналогии может быть распространено и на квадратные системы 4-го, 5-го и т. д. порядков. При этом появляются и определители соответствующих порядков - 4-го, 5-го и т. д. Но подробности этого мы опускаем, ибо такие большие системы гораздо удобнее и быстрее решать методом Гаусса.

< Предыдущая		Следующая >