55. Метод вариации произвольных постоянных

Рассмотрим неоднородную систему линейных дифференциальных уравнений (5.43) или, что то же самое,

. (5.48)

Пусть имеется фундаментальная система решений системы (5.44) . Тогда общее решение системы (5.44) записывается в форме . Будем искать частное решение неоднородной системы уравнений (5.48) в виде

(5.49)

Где - функции, подлежащие определению. Дифференцируя вектор-функцию (5.49), получаем

(5.50)

Подставляя вектор-функцию (5.49) и её производную (5.50) в систему уравнений (5.43), получаем

(5.51)

В этом соотношении слагаемое равно нулю в силу того, что - решения однородной системы уравнений (5.44) .

Поэтому правая часть в (5.51) переписывается в виде

(5.52)

Или в координатной форме

(5.52а)

Так как определитель системы (5.52) есть определитель Вронского для фундаментальной системы решений однородной системы уравнений (5.44) , то он отличен от нуля и поэтому система (5.52) имеет единственное решение которое можно найти по формулам Крамера

Где определитель, полученный из определителя заменой столбца с номером на столбец . Интегрируя последние равенства, окончательно получаем

Подставляя полученные значения в (5.49), получаем общее решение системы уравнений (5.43).

Пример. Для системы дифференциальных уравнений соответствующая однородная система уравнений имеет вид Собственные числа её матрицы равны . Собственные векторы, отвечающие этим собственным числам, равны соответственно и . Тогда фундаментальная система решений состоит из функций и . Решение исходной системы ищем в виде