54. Однородные системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Как и в случае линейных уравнений высших порядков, наиболее полно разработаны вопросы нахождения фундаментальной системы решений для однородных систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

(5.46)

Или, в матричной форме,

. (5.46а)

Будем искать ненулевое решение системы (5.46) в виде

(5.47)

Подставив это решение в (5.46), получаем равенство , откуда, сокращая на , можем записать или . Последнее соотношение есть система для нахождения собственных чисел и собственных векторов матрицы . Таким образом, - решение системы (5.46) тогда, когда - собственное число, а - ему соответствующий собственный вектор матрицы . Возможны два случая: 1) все собственные числа различны; 2) есть кратные собственные числа. Разберём эти возможности по отдельности.

В первом случае имеем решений

Эта система функций линейно независима, так как её определитель Вронского отличен от нуля. Действительно,

Так как система векторов есть система собственных векторов матрицы , отвечающая разным собственным числам, то она линейно независима . Поэтому мы получили линейно независимых решений однородной системы линейных дифференциальных уравнений.

Во втором случае возможны два варианта. Пусть для собственного числа кратности имеется линейно независимых собственных векторов . Этот вариант ничем не отличается от предыдущего случая. Во втором варианте для собственного числа кратности имеется меньше чем линейно независимых собственных векторов. Имеется два способа получения совокупности линейно независимых решений однородной системы линейных дифференциальных уравнений. Первый основан на приведении матрицы к жордановой форме и изложен в . Второй называется методом Эйлера и заключается в том, что для собственного числа соответствующие решения находятся в виде где - вектор-функция, каждая координата которой есть полином степени не выше с неопределёнными коэффициентами, подлежащими определению. Подставляя это решение в (5.46), получаем соотношения для определения коэффициентов вектор-функции

Примеры

1. Для линейной системы дифференциальных уравнений матрица имеет собственные числа с соответствующим собственным вектором И кратности 2 с собственными векторами и . Поэтому фундаментальная система решений состоит из функций , а общее решение имеет вид

.

2. Для системы дифференциальных уравнений матрица имеет собственные числа с соответствующим собственным вектором И кратности 2, которому соответствует только один собственный вектор . Поэтому линейно независимые решения, соответствующие собственному числу , ищем в виде

.

Подставляя эти соотношения в исходную систему и приводя подобные, получаем систему алгебраических уравнений

для нахождения чисел Решая эту систему, имеем Придавая свободным неизвестным значения получаем общее решение исходной системы дифференциальных уравнений

.

3. Для линейной системы дифференциальных уравнений матрица имеет собственные числа . Собственный вектор, отвечающий собственному числу , равен . Для собственного числа можно найти собственный вектор, а можно воспользоваться тем, что действительная и мнимая части решения являются линейно независимыми решениями системы. Поэтому общее решение системы можно записать в виде

.

< Предыдущая		Следующая >