48. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

Рассмотрим множество всех определённых на отрезке функций. На этом множестве введём операции:

1) сложения элементов По правилу

;

2) умножения элемента на скаляр по закону .

Относительно введённых операций является линейным пространством, так как выполнены все аксиомы линейного пространства [1,2,12].

Рассмотрим два подмножества множества :

- множество непрерывных на функций;

- множество раз непрерывно дифференцируемых на отрезке функций.

Отметим, что имеет место поэлементное включение . Так как введённые линейные операции не выводят за пределы множеств и соответственно, то они являются линейными подпространствами пространства . Следовательно, как самостоятельные объекты, они являются линейными пространствами. В отличие от рассмотренных в линейной алгебре пространств, введённые пространства бесконечномерны.

Определим оператор следующим образом

.

Докажем, что оператор линеен. Действительно, так как для любых производных порядка выполняется равенство

,

То можно записать

.

Сравнивая крайние части этого равенства, убеждаемся в справедливости высказанного утверждения.

Уравнение вида , где - некоторая функция, а - введённый выше оператор, называется линейным дифференциальным уравнением - го порядка. Иногда будем пользоваться подробными записями этого уравнения

, (5.24)

Или

. (5.24а)

Так же, как и для уравнений первого порядка, для линейных уравнений порядка теорема существования и единственности имеет более конкретный вид.

Теорема. Пусть функции , и определены и непрерывны на отрезке , Для всякого из и пусть - некоторая точка этого отрезка. Тогда для любого набора начальных данных (5.21) () существует единственное решение уравнения (5.24), определённое на всём отрезке .

Доказательство этого результата опустим.

Отметим, что свойства решений линейных дифференциальных уравнений и подобны свойствам решений систем линейных алгебраических уравнений и . Приведём эти свойства.

Теорема (о наложении решений). Если ,- решения уравнений и соответственно, то линейная комбинация есть решение уравнения .

Доказательство. В силу линейности оператора имеем Теорема доказана.

Следствие 1. Если - решение уравнения , - решение уравнения , то - решение уравнения .

Следствие 2. Любая линейная комбинация решений уравнения снова есть решение этого уравнения.

Доказательство. Пусть есть решения уравнения. Тогда .

Следствие доказано.

Следствие 3. Множество всех решений уравнения образует линейное подпространство пространства .

Доказательство. По предыдущему следствию линейные операции над решениями уравнения не выводят за пределы множества решений этого уравнения, что и доказывает следствие.

Напомним некоторые понятия линейной алгебры, которые нам потребуются в дальнейшем.

Определение. Система функций Называется линейно зависимой на отрезке , если существуют числа , не все из которых равны нулю, такие, что

Всюду на , и линейно независимой, если такого ненулевого набора не существует.

Так же как и для систем векторов, для систем функций справедливы следующие ниже свойства.

1. Система функций линейно зависима на отрезке Тогда и только тогда, когда одна из них есть линейная комбинация остальных.

2. Всякая система функций, содержащая функцию тождественно равную нулю на отрезке , линейно зависима на .

3. Всякая система функций, содержащая линейно зависимую на отрезке подсистему функций, линейно зависима на .

Доказательства этих утверждений аналогичны доказательствам соответствующих утверждений для систем векторов и предлагаются в качестве упражнений.

Приведём примеры линейно зависимых и линейно независимых систем функций.

Примеры

1. Система функций - линейно зависима на всей числовой оси, так как по основному тригонометрическому тождеству

2. Функции образуют линейно независимую систему на любом отрезке числовой прямой, так как по основной теореме алгебры [6], полином (многочлен) степени , у которого хотя бы один коэффициент отличен от нуля, не может обращаться в нуль более чем в точках вещественной прямой.

3. Для доказательства линейной независимости системы функций требуется показать, что при любом ненулевом наборе констант выражение не может тождественно равняться нулю.

Не всегда удаётся легко показать линейную зависимость или линейную независимость систем функций, пользуясь только определением. Для выяснения этого вопроса служит построенный ниже определитель.

Рассмотрим совокупность раз непрерывно дифференцируемых функций . Определитель

Называется определителем Вронского или вронскианом системы функций .

Определитель Вронского служит индикатором линейной зависимости системы функций.

Теорема. Если система функций линейно зависима на , то её определитель Вронского равен нулю во всякой точке отрезка .

Доказательство. Пусть система функций линейно зависима. Тогда, по свойству 1, одну из них можно представить в виде линейной комбинации остальных. Подставляя эту линейную комбинацию в определитель Вронского, получаем, что при любом фиксированном соответствующий столбец есть линейная комбинация остальных. Следовательно, по свойствам определителя, он равен нулю для всех . Теорема доказана.

Теорема. Если - линейно независимая система решений линейного однородного уравнения порядка с непрерывными на коэффициентами и для всех ,.то её определитель Вронского отличен от нуля для всех .

Доказательство. Предположим, что существует точка , в которой определитель Вронского Равен нулю. Рассмотрим однородную систему линейных алгебраических уравнений Её определитель есть определитель Вронского и, так как по предположению , то система имеет нетривиальное решение (хотя бы одно из не равно нулю). Рассмотрим функцию где - компоненты вектора . Эта функция является решением уравнения по следствию 2 теоремы о наложении решений. С другой стороны, имеем

…………………………

Таким образом, мы показали, что функция удовлетворяет в точке системе нулевых начальных данных и по теореме существования и единственности На . Это противоречит линейной независимости системы функций . Теорема доказана.

Удостоверимся в существовании базиса в пространстве решений уравнения .

Теорема. Для любого линейного однородного дифференциального уравнения порядка существует система, состоящая из линейно независимых решений этого уравнения.

Доказательство. Возьмём матрицу

(5.25)

С определителем, отличным от нуля. Тогда строки и столбцы этой матрицы линейно независимы. Найдём такие решения уравнения , чтобы выполнялись соотношения . По теореме существования и единственности такой набор решений существует. Найденная система решений линейно независима, так как её определитель Вронского в точке совпадает с определителем матрицы (5.25). Теорема доказана.

Матрицу (5.25) можно взять единичную.

Теорема (о виде общего решения линейного однородного дифференциального уравнения). Если - линейно независимая система решений линейного однородного уравнения - го порядка , то любое его решение есть линейная комбинация этих решений, то есть

(5.26)

И, следовательно, - базис пространства решений уравнения .

Доказательство. Нам нужно показать, что любое частное решение уравнения Получается из (5.26), то есть для любого набора начальных данных (5.21) ( ) существует набор чисел такой, что соответствующее решение (5.26) удовлетворяет (5.21). Потребовав, чтобы решение (5.26) удовлетворяло условиям (5.21), получим систему линейных алгебраических уравнений

Определитель которой и поэтому существует единственное решение этой системы.

Таким образом, нами показано, что хотя само пространство бесконечномерно, подпространство решений линейного однородного дифференциального уравнения конечномерно.

Определение. Любой базис пространства решений линейного однородного дифференциального уравнения -го порядка называется фундаментальной системой решений этого уравнения.

Так же, как и в линейной алгебре, имеет место следующий результат.

Теорема (о виде общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения). Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения есть сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и какого либо частного решения неоднородного уравнения, то есть .

Доказательство. Пусть - какое-нибудь фиксированное частное решение неоднородного линейного уравнения . Нам нужно показать, что для любого набора начальных данных существует набор чисел такой, что решение , где - фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения , удовлетворяет этому набору начальных данных. Потребовав, чтобы данное решение удовлетворяло начальным условиям, получим систему линейных алгебраических уравнений

,

Или, что то же самое,

,

Определитель которой и поэтому существует единственное решение этой системы. Теорема доказана.

< Предыдущая		Следующая >