47. Уравнения, допускающие понижение порядка

Выше нами были рассмотрены методы решения некоторых классов уравнений первого порядка. Возникает естественное желание свести уравнение порядка выше первого к уравнению более низкого порядка. В некоторых случаях это удаётся сделать. Рассмотрим их.

1. Уравнения вида решаются последовательным интегрированием раз

, , …

Примеры

1. Решить уравнение . Можем записать следовательно, И, интегрируя ещё раз, окончательно получаем .

2. Решить уравнение . Интегрируя, получаем

, , .

2. В уравнениях вида , , (то есть не содержащих в явном виде неизвестной функции и некоторых её производных) порядок понижается с помощью замены переменной . Тогда и мы получаем уравнение порядка . Его решением является функция или, вспоминая, что такое , получаем уравнение рассмотренного в случае 1 типа.

Примеры

1. Решить уравнение . Делаем замену . Тогда . Подставляя в исходное уравнение, получаем . Разделяя переменные, получаем . Интегрируя, имеем , или, что то же самое, . Последнее соотношение записывается в виде , откуда . Интегрируя при , окончательно получаем . Если , то , и . Кроме того, при делении на мы потеряли решение , или, что то же самое, .

2. Решить уравнение . Делаем замену . Тогда . Подставляя в исходное уравнение, получаем . Разделяя переменные, получаем . Интегрируя, имеем , или, что то же самое, . Последнее соотношение записывается в виде , откуда . Интегрируя, окончательно получаем

3. Решить уравнение . Делаем замену . Тогда . Подставляя в исходное уравнение, получаем . Разделяя переменные, получаем . Интегрируя, имеем , или, что то же самое, . Последнее соотношение записывается в виде , откуда . Интегрируя, окончательно получаем .

3. Следующим уравнением, допускающим понижение порядка, является уравнение вида , не содержащее в явном виде независимой переменной. Порядок уравнения понижается с помощью замены переменной , где - новая искомая функция, зависящая от . Тогда

и так далее. По индукции имеем . Подставляя в исходное уравнение, понижаем его порядок на единицу.

Примеры

1. Решить уравнение Делаем стандартную замену , тогда . Подставляя в уравнение, получаем . Разделяя переменные, при , имеем . Интегрируя, получаем или, что то же самое, . Тогда или . Интегрируя последнее равенство, окончательно получаем . При разделении переменных мы могли потерять решение , которое получается при , или, что то же самое, при , но оно содержится в полученном выше при .

2. Решить задачу Коши , . Делаем замену , тогда Подставляя в уравнение, получаем . В силу начальных условий (), поэтому на Можно сократить. Разделяя переменные, имеем . Интегрируя, получаем . Тогда . Учитывая начальные условия, получаем . Поэтому Или . Разделяя в последнем равенстве переменные и интегрируя, окончательно получаем . Учитывая начальные условия, получаем . Таким образом, искомое решение , или, что то же самое, .

4. Иногда удаётся подметить особенность, позволяющую понизить порядок уравнения способами, отличными от рассмотренных выше. Покажем это на примерах.

Примеры.

1. Если обе части уравнения Разделить на , то получим уравнение , которое можно переписать в виде . Из последнего соотношения следует, что , или, что то же самое, Получилось уравнение на порядок ниже и рассмотренного ранее типа.

2. Аналогично для уравнения имеем , или . Из последнего соотношения следует, что , или . Разделяя переменные и интегрируя, получаем, При делении мы потеряли решения и , которые в ранее найденное решение не входят.

Рассмотренными в данном пункте методами решается задача 2 из контрольной работы 7.

< Предыдущая		Следующая >