43. Уравнения Бернулли

Дифференциальное уравнение

(5.13)

Называется уравнением Бернулли.

Так как при получается линейное уравнение, а при - с разделяющимися переменными, то предположим, что и . Разделим обе части (5.13) на . Тогда

. (5.14)

Положив , имеем . Подставляя в (5.14), получим , или, что то же самое, . Это линейное уравнение, которое мы решать умеем.

Примеры.

1. Найти общее решение уравнения . Это уравнение Бернулли при . Разделив обе части уравнения на получаем Делаем замену . Тогда и поэтому уравнение переписывается в виде . Решая это линейное уравнение методом вариации произвольной постоянной (см. стр. 148), получаем откуда или, что то же самое, . При делении на мы потеряли решение , которое в полученное решение не входит.

2. Найти общее решение уравнения . Это уравнение получено из уравнения Бернулли при . Делаем замену . Тогда и поэтому уравнение переписывается в виде . Это линейное уравнение. Решаем вначале соответствующее однородное уравнение. Имеем , . Находим теперь решение уравнения В виде . Подставляя в него и , получаем , откуда . Интегрируя по частям с , имеем . Поэтому , откуда или, что то же самое, .

Задание 5.3.

Решить уравнения:

1. ; 2. ; 3. .

Ответы: 1. ; 2. ;

3. .

< Предыдущая		Следующая >