41. Постановка задачи о выделении решений. Теорема существования и единственности

Как мы уже видели, множество решений дифференциального уравнения есть некоторое семейство функций, зависящее от константы. Хотелось бы выяснить условия на функцию , при выполнении которых можно выделить конкретное решение этого уравнения, удовлетворяющее заранее заданным требованиям. Для уравнения первого порядка требования формулируются следующим образом.

Найти решения дифференциального уравнения

(5.3)

Удовлетворяющие условиям

. (5.7)

Сформулированные условия называются условиями Коши, а задача о выделении решения, удовлетворяющего условиям Коши, Задачей Коши.

Определение. Будем говорить, что функция удовлетворяет условию Липшица по в области , если для любых двух точек из этой области выполнено неравенство

, (5.8)

Где - некоторая константа, не зависящая от И .

Теорема (существования и единственности). Пусть в уравнении (5.3) функция , заданная в области на плоскости, непрерывна по и удовлетворяет условию Липшица (5.8) по . Тогда для любой точки существуют интервал и функция , заданная на этом интервале так, что есть решение уравнения (5.3), удовлетворяющее условию (5.7). Это решение единственно в том смысле, что если есть решение уравнения (5.3), определенное на интервале , включающем в себя точку , и удовлетворяющее условию (5.7), то функции и совпадают там, где они обе определены.

Доказательство этого результата опустим. Желающие могут ознакомиться с ним в

Множество назовём выпуклым по , если для всяких двух точек из этому множеству принадлежат и точки отрезка, их соединяющего, то есть точки вида , где - число, лежащее между и .

Отметим, что если непрерывная на множестве функция имеет там же непрерывную частную производную , множество - ограничено, замкнуто и выпукло по , то функция удовлетворяет на множестве условию Липшица по . Действительно, по теореме Лагранжа о конечных приращениях, можем записать

.

Поэтому в теореме существования и единственности вместо требования выполнения условия Липшица по часто требуют, чтобы функция имела непрерывную частную производную по переменной . Особенно, если учитывать, что последнее условие проверять легче.

Теорема существования и единственности гарантирует, что при выполнении её условий через точку проходит только одно решение этого уравнения. Если условия теоремы нарушаются в некоторой точке, то через неё может проходить больше, чем одно решение (нарушается единственность), либо не проходить ни одного решения (нарушается существование).

Определение. Семейство решений дифференциального уравнения (5.3) назовём его общим решением, если для любого набора начальных данных найдётся константа , на которой этот набор реализуется, то есть такая, что для решения выполнены начальные условия .

< Предыдущая		Следующая >