40. Однородные уравнения
Если уравнение (5.3) удается преобразовать к виду 
, то это уравнение называется однородным. Можно показать, что уравнение в дифференциальной форме 
является однородным тогда и только тогда, когда функции 
И 
однородные функции одной и той же степени. Напомним, что функция 
называется однородной степени 
, если для неё выполнено соотношение 
Однородное дифференциальное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными заменой 
, или, что то же самое, 
, где 
новая искомая функция. Действительно, тогда 
и исходное уравнение может быть переписано в виде 
, или 
. Из последнего при 
можем записать 
. Заметим, что в случае 
исходное уравнение уже является уравнением с разделяющимися переменными.
Пример. Решить уравнение 
. Это однородное уравнение, так как 
и 
однородные функции второй степени. Делаем замену 
. Подставляя в уравнение, имеем
0.
Раскрывая скобки, приводя подобные и сокращая на , получаем уравнение с разделяющимися переменными
Разделяя переменные, получаем 
или, что то же самое, 
Интегрируя последнее соотношение, имеем 
. Потенцируя (переходя от логарифмической функции к 
), можем записать 
или, делая обратную замену 
, получаем 
. При сокращении на мы потеряли решение 
, которое в найденное решение не входит. Кроме того, мы могли потерять решения при делении на 
. Случай 
даёт решение 
, входящее в найденное при 
. Случай 
даёт решение 
, которое не входит в найденное.
Уравнения вида
приводятся к однородным переносом начала координат в точку пересечения прямых 
если определитель 
отличен от нуля. Если этот определитель равен нулю, то замена 
Приводит исходное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными.
Задание 5.2.
Решить уравнения:
1. 
; 2. 
;
3. 
.
Ответы: 1. 
;
2. 
; 3. 
.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
