39. Уравнения с разделяющимися переменными

Самыми простыми в изучении являются уравнения вида . Действительно, если есть решение этого уравнения, то, в силу инвариантности формы первого дифференциала, можем записать . Равенство подразумевает, что множество всех первообразных в левой части равно множеству всех первообразных в правой части. Если - какая-нибудь первообразная левой части, а - правой части, то последнее соотношение можно переписать в виде , разрешая которое относительно , получаем всю совокупность решений исходного уравнения. Большинство методов решений дифференциальных уравнений заключается в сведении их к уравнению рассмотренного выше типа.

Следующими по сложности являются уравнения с разделяющимися переменными.

Пусть в выражении (5.3) то есть уравнение может быть представлено в виде

(5.5)

Или в эквивалентной форме

. (5.6)

Уравнения (5.5) и (5.6) называются уравнениями с разделяющимися переменными.

Если Для , то, с учетом того, что , Из (5.5) получаем

Откуда, с учетом инвариантности формы дифференциала первого порядка, имеем

Как и ранее, полученное соотношение означает, что множество первообразных в левой части, равно множеству всех первообразных в правой части. Если ,- какие-либо первообразные левой и правой частей, соответственно, то его можно переписать в виде . Разрешая последнее относительно , получаем всю совокупность решений исходного уравнения.

Заметим, что если , то мы должны проверить, является ли функция решением исходного дифференциального уравнения, чтобы не потерять его в процессе нахождения решения.

Аналогично, для уравнения в форме (5.6), если получаем

Или, интегрируя обе части по X,

Вычисляя полученные интегралы, находим все множество решений (при ) уравнения (5.6).

Примеры

1. Для уравнения имеем , откуда или, интегрируя обе части по X, и, наконец, .

2. Решить уравнение . В предположении, что получаем или, интегрируя, , отсюда . Решение Y = 0 получается при C = 0, а решение не содержится в нем. Таким образом, решение уравнения , .