38. Дифференциальные уравнения. Уравнения первого порядка. Общие сведения

Изложенное ниже является введением в круг вопросов и задач, изучаемых в теории дифференциальных уравнений, и не претендует на полноту.

Определение. Уравнение, связывающее независимую переменную , искомую функцию и некоторое количество её производных, т. е. уравнение вида

, (5.1)

Называется дифференциальным уравнением - го порядка. Если - векторная величина, то уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных, а если - скаляр, то обыкновенным дифференциальным уравнением.

Для многих динамических, то есть меняющихся во времени, процессов и явлений бывает трудно написать закон их поведения в виде конкретной функции времени, а написать этот закон в виде дифференциального уравнения часто значительно легче. Построением дифференциальных уравнений для описания конкретных процессов, то есть построением математических моделей этих процессов, мы заниматься не будем.

Не оговаривая особо, будем изучать обыкновенные дифференциальные уравнения.

Самым простым обыкновенным дифференциальным уравнением является уравнение 1-го порядка, то есть уравнение

, (5.2)

Получающееся из (5.1) при . Функция в (5.2) предполагается определённой на некотором множестве из .

Если уравнение (5.1) удается разрешить относительно и записать в виде

, (5.3)

То уравнение (5.3) называется уравнением 1-го порядка, разрешенным относительно производной. Иногда уравнение (5.3) удобнее записывать в эквивалентном виде в так называемой дифференциальной форме

(5.4)

Функции предполагаются заданными на некотором множестве плоскости .

Мы будем пользоваться той записью, которая в данный момент удобнее.

Определение. Функция , заданная на отрезке или интервале , называется решением дифференциального уравнения в области , если при подстановке в уравнение она обращает его в тождество в этой области.

Естественно, чтобы быть решением дифференциального уравнения первого порядка, функция Должна быть дифференцируемой, а, следовательно, и непрерывной. Кроме того, точка должна принадлежать множеству , если речь идёт о решении уравнения (5.2), а точка должна принадлежать множеству , если речь идёт о решении уравнений (5.3) или (5.4). Будем предполагать, что и первая производная функции непрерывна. Чтобы быть решением дифференциального уравнения n-го порядка, функция Должна иметь непрерывных производных.

При изучении дифференциальных уравнений выделяют качественную и количественную теории дифференциальных уравнений.

В качественной теории по виду дифференциального уравнения изучают свойства его решений, не находя их.

В количественной теории занимаются разработкой методов нахождения решений дифференциальных уравнений.

Мы будем заниматься количественной теорией дифференциальных уравнений.

В количественной теории рассматривают точные и приближенные методы нахождения решений. Займемся пока точными методами.

Решить дифференциальное уравнение означает описать всю совокупность его решений. Процесс нахождения решений дифференциального уравнения, как и любого другого уравнения, состоит в преобразовании его к такому виду, из которого это решение легко находится. При этом два уравнения и назовём эквивалентными в области , если решения одного из них являются решениями другого. Идеальным было бы при нахождении решения осуществлять переход к эквивалентным уравнениям. Это не всегда удаётся. Поэтому, в процессе преобразований, мы должны следить, чтобы не терять решений и не приобретать новых.

< Предыдущая		Следующая >