37. Элементы теории поля

Определение. Говорят, что в области () задано векторное поле, если задана вектор-функция (), то есть функция вида

,

С областью определения (). Аналогично, говорят, что в области () задано скалярное поле, если задана скалярнозначная функция () с областью определения ().

Если областью определения векторного поля является множество точек на плоскости, то поле называют плоским. Векторное поле можно интерпретировать, как множество точек, к каждой из которых присоединён вектор. Примерами векторных полей являются: поле скоростей текущей жидкости, электрическое поле точечного заряда, магнитное поле, плотность электрического тока.

Напомним введённые ранее понятия, имеющие отношение к векторным и скалярным полям.

Вектор

Называется градиентом скалярной функции (скалярного поля).

Скаляр

Называется производной по направлению вектора от скалярной функции векторного аргумента.

Векторное поле или вектор-функцию назовём потенциальным, если существует скалярная функция (скалярное поле) такая, что . Функцию назовём при этом потенциалом поля .

Заметим, что если - потенциал поля , то тоже потенциал этого поля.

Критерием потенциальности поля служит следующий результат.

Теорема. Векторное поле является потенциальным в области тогда и только тогда, когда выполняется одно из двух условий:

1. Криволинейный интеграл второго рода по любому замкнутому контуру , полностью лежащему в , равен нулю ( для ), или, что то же самое, циркуляция поля по любому замкнутому пути равна нулю.

2. Если - любые две точки из и -две произвольные кривые, их соединяющие, то , то есть криволинейный интеграл второго рода не зависит от пути интегрирования.

Если поле потенциально и - его потенциал, то

.

Доказательство. Покажем вначале, что условия 1 и 2 эквивалентны. Пусть выполнено условие 1, - две произвольные точки из и - две кривые, соединяющие и . Рассмотрим замкнутый контур . Тогда

,

Откуда и следует требуемое. Пусть теперь выполнено условие 2, - произвольный замкнутый контур, лежащий в и - две произвольные точки, лежащие на контуре . Точками контур разбивается на два контура так, что . Тогда, аналогично предыдущему, имеем

Перейдём к доказательству теоремы.

Необходимость. Пусть поле потенциально, то есть существует скалярная функция такая, что , - произвольные точки из и - произвольный путь, соединяющий . Пусть кривая задана параметрически так, что значению параметра соответствует точка , а значению параметра соответствует точка . Так как , то

Подынтегральная функция есть производная сложной функции . Поэтому последний интеграл равен

Мы получили, что интеграл зависит от конечных точек и не зависит от пути, соединяющего эти точки. Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования, - произвольная точка из , - фиксированная точка из . Покажем, что функция есть потенциал поля . Для этого достаточно показать, что . Возьмём точку . Тогда . В силу независимости криволинейного интеграла от пути последний интеграл равен

По теореме о среднем где - некоторая точка отрезка . Заметим, что эту точку можно записать в виде , где - некоторое число. Поэтому

Переходя в последнем соотношении к пределу при получаем, что Аналогично устанавливается справедливость оставшихся соотношений Теорема доказана.

Доказанная теорема даёт возможность восстановить потенциал, если известно, что поле потенциально, но она не даёт практических рецептов выяснения потенциальности поля. Попытаемся получить характеристики, позволяющие установить потенциальность поля.

Введём вектор

Который назовём ротором (вихрем) вектор-функции .

Определение. Поле называется безвихревым, если .

Между величиной и потенциальностью поля существует связь, выражаемая теоремой.

Теорема. Если поле

Потенциально и существует непрерывная производная , то оно безвихревое (Всякое потенциальное дифференцируемое поле является безвихревым), то есть .

Доказательство. Если поле потенциально, то существует скалярнозначная функция такая, что . Следовательно, Тогда

Теорема доказана.

Обратное утверждение верно лишь при дополнительных ограничениях на область. Для уточнения формулировок введём некоторые понятия.

Определение. Множество называется связным, если для любых двух точек из этого множества существует непрерывная кривая, соединяющая эти точки и целиком лежащая в данном множестве.

Определение. Точку множества назовём внутренней точкой, если существует окрестность этой точки, целиком лежащая в данном множестве, – внешней точкой, если существует окрестность этой точки, целиком лежащая вне данного множества, – граничной, если во всякой окрестности этой точки есть как точки данного множества, так и точки, ему не принадлежащие. Совокупность всех граничных точек данного множества назовём его границей.

Определение. Множество назовём односвязным, если его граница есть связное множество.

Теорема. Если область является односвязной и векторное поле безвихревое (), то оно потенциально.

Доказательство этого результата опустим. Желающие могут познакомиться с ним в [8].

Рассмотрим более подробно плоский случай. Пусть векторное поле задано на плоскости, то есть имеет вид

.

Тогда

.

Таким образом, для плоского поля условие эквивалентно условию . Тогда сформулированные выше результаты о потенциальности поля приобретают следующий вид.

Теорема. Если плоское поле потенциально, то .

Теорема. Если и область односвязная, то плоское поле потенциально.

Теорема. Если область односвязная, то любой криволинейный интеграл по произвольному контуру не зависит от пути интегрирования тогда и только тогда, когда .

Теорема. Если область односвязная, то поле потенциально тогда и только тогда, когда .

Примеры.

1. Доказать, что поле потенциально и восстановить его потенциал. Так как то и поле потенциально во всей плоскости. Следовательно, криволинейный интеграл по любому пути, соединяющему две точки, не зависит от пути интегрирования. В качестве начальной точки интегрирования Выберем начало координат . Конечную точку возьмём произвольную с координатами . Наиболее простыми путями интегрирования являются две возможные ломаные, состоящие из отрезков прямых, параллельных координатным осям. Поэтому для пути, изображённого на рисунке (с учётом того, что ),

Таким образом, .

2. Доказать, что поле потенциально и восстановить его потенциал.

Найдём . Так как , , , , , , то и поле потенциально во всём пространстве. Следовательно, криволинейный интеграл по любому пути, соединяющему две точки, не зависит от пути интегрирования. В качестве начальной точки интегрирования Выберем начало координат . Конечную точку возьмём произвольную с координатами . Наиболее простыми путями интегрирования являются возможные ломаные, состоящие из отрезков прямых, параллельных координатным осям. Поэтому, для пути, изображённого на рисунке (с учётом того, что ),

.

Таким образом, .

Введём ещё одну характеристику векторного поля, называемую дивергенцией, или функцией источника, по формуле

.

Назовём поле соленоидальным или трубчатым, если дивергенция равна нулю в каждой его точке.

Сформулируем несколько результатов, связывающих рассмотренные выше понятия.

Теорема (Стокса). Пусть - замкнутый кусочно-гладкий контур в , - любая кусочно-гладкая поверхность, натянутая на . Согласуем ориентации и так, чтобы, если смотреть из конца вектора нормали к , определяющего сторону, то обход совершается против часовой стрелки. Тогда, если - дифференцируемая функция, то циркуляция вектора по контуру равна потоку вектора через поверхность , натянутую на этот контур, то есть

Эта формула называется формулой Стокса.

Формула Стокса позволяет дать другую характеристику векторного поля . Действительно, по теореме о среднем для поверхностного интеграла второго рода (теорема 4 п.4.4.3), , где - единичный вектор нормали к поверхности в некоторой её средней точке , - площадь поверхности . Тогда

.

Другими словами, если через точку провести поверхность и на этой поверхности взять контур, охватывающий точку , то проекция вектора на направление нормали к поверхности в точке равна пределу средней плотности циркуляции вектора по контуру при стягивании контура в точку .

В случае плоской области, если положить , теорема Стокса формулируется следующим образом.

Теорема (Грина). Пусть - плоская область с кусочно-гладкой границей и ориентирована так, что обход по ней в положительном направлении совершается против часовой стрелки. Тогда, если - дифференцируемая функция, то

.

Эта формула называется формулой Грина.

Теорема. Пусть - область в и - кусочно-гладкая граница , ориентированная в сторону внешней нормали. Тогда, если - дифференцируемая функция, то поток вектора через границу области равен интегралу по области от , то есть

.

Эта формула называется формулой Гаусса-Остроградского.

Формула Гаусса-Остроградского позволяет дать физическую интерпретацию дивергенции и соленоидальности векторного поля.

Пусть - шар с центром в точке радиуса . Применяя к правой части формулы Гаусса-Остроградского теорему о среднем, получаем где - некоторая точка шара, - его объём. Тогда

,

То есть в точке равна пределу отношения потока вектора через границу замкнутой области , охватывающей точку, к объёму области , при стягивании области в точку .

Таким образом, если , то в точке источник, если , то в точке сток, если , то в точке нет ни источников, ни стоков.

Рассмотрим более подробно соленоидальные поля. Пусть - замкнутый контур. Через каждую его точку проведём линию, касательная к которой параллельна вектору . Такие линии называются векторными или силовыми линиями поля. Поверхность, образованную векторными линиями поля , проходящими через точки замкнутого контура , назовём векторной трубкой. В силу построения векторной трубки вектор нормали к ней перпендикулярен вектору . Тогда в любой точке векторной трубки. Поэтому для любого куска поверхности векторной трубки , то есть поток вектора через поверхность векторной трубки равен нулю (через неё, как и через боковую поверхность реальной трубы, ничего ни вытекает, ни втекает). Пусть и - два сечения векторной трубки, векторы нормалей к которым направлены в одну сторону и - полная поверхность трубки, состоящая из , и поверхности трубки между этими сечениями. Тогда, по теореме Гаусса-Остроградского, и, так как для соленоидального поля для всех точек области , то . Так как поток вектора через боковую поверхность трубки равен нулю, то из последнего соотношения следует, что , а, следовательно, и . Таким образом, для соленоидальных полей потоки вектора через любые сечения равны между собой.

Пример. Найти поток векторного поля через внешнюю сторону поверхности, лежащей в первом октанте и ограниченной цилиндром и плоскостями . По теореме Гаусса-Остроградского поток векторного поля через замкнутую поверхность равен

.

Переходя к цилиндрическим координатам, окончательно получаем

.

< Предыдущая		Следующая >