36. Вычисление и свойства

Пусть кривая задана параметрически или, что то же самое, в векторной форме,

Тогда вектор касательной приобретает вид , а единичный вектор касательной равен

Так как , то

И для криволинейного интеграла второго рода имеем

В случае плоской кривой Получим

Если плоская кривая задана явно уравнением , то её можно считать заданной параметрически взяв в качестве параметра Тогда последняя формула приобретает вид

Заметим, что все формулы для вычисления криволинейного интеграла второго рода получены при соглашении, что направлением обхода кривой считается направление, задаваемое вектором касательной , если кривая задана параметрически или векторно, и вектором касательной , если кривая задана явно. Если по каким-либо соображениям обходить кривую необходимо в обратном направлении, то все знаки в формулах нужно поменять на противоположные.

Если поверхность задана параметрически или, что то же самое, в векторной форме

То при задании стороны поверхности с помощью вектора нормали единичный вектор нормали равен и, так как , то

, где , , - якобианы (определители матриц Якоби, или, что то же самое, матриц производных) вектор-функций соответственно. Тогда для вычисления поверхностного интеграла второго рода получаем формулу

Пусть поверхность задана явно уравнением, . Тогда, если в качестве параметров взять , её можно считать заданной в векторной форме , или, что то же самое, параметрически . Тогда , , и поверхностный интеграл второго рода вычисляется по формуле

В которой , а есть проекция поверхности на плоскость . Получить аналогичные формулы в случае, когда поверхность задана явно одним из уравнений или , предлагается читателю.

Напомним, что мы получили формулы для вычисления поверхностного интеграла второго рода при ориентации поверхности с помощью вектора нормали . При необходимости выбора другой стороны поверхности все знаки в формулах поменяются на противоположные.

Рассмотрим теперь более подробно интегральную сумму, используемую в определении поверхностного интеграла второго рода. Для удобства записи введём обозначения . Имеем

Где - направляющие косинусы (координаты) единичного вектора нормали , - площадь элементарного участка поверхности. Рассмотрим проекцию элементарного участка поверхности на одну из координатных плоскостей, например, на плоскость . Площадь Этой проекции равна , где - угол между плоскостью и касательной плоскостью к поверхности в точке . Знак плюс берётся, если этот угол острый, и минус, если этот угол тупой. По определению угла между плоскостями, этот угол совпадает с углом между нормальными векторами этих плоскостей, то есть с углом между векторами и . Таким образом, . Обозначив через площадь проекции на плоскость , а через площадь проекции на плоскость , можно аналогично показать, что . Поэтому . Последнее даёт право записать поверхностный интеграл второго рода в стандартном виде

А если поверхность может быть задана одновременно уравнениями то вычислять поверхностный интеграл второго рода по формуле

Где - проекции поверхности на координатные плоскости соответственно и знак “+” берётся, если угол между вектором нормали и осью, вдоль которой ведётся проектирование, острый, а знак “–”, если этот угол тупой.

Заметим, что для криволинейного и поверхностного интегралов имеют место общие для всех интегралов свойства. Отметим некоторые из них в формулировках, отражающих специфику этих интегралов.

Теорема 1. Криволинейный и поверхностный интегралы 2-го рода зависят от ориентации кривой и поверхности, точнее

Доказательство опустим.

Замечание. Если в качестве ориентированной кривой взять отрезок оси с направлением обхода от к , то определённый интеграл можно рассматривать как криволинейный интеграл второго рода по этой кривой, а теорему 1 считать обобщением свойства 1 определённого интеграла на случай ориентированного многообразия..

Теорема 2. Пусть и размерность пересечения Тогда

Доказательство. Включив в число многообразий разбиения в определении интеграла по многообразию второго рода общую границу с , получаем требуемое.

Теорема 3 (о среднем для криволинейного интеграла). Если функция непрерывна на гладкой кривой , то существует точка на кривой такая, что для криволинейного интеграла второго рода выполнено соотношение

Где - длина кривой .

Доказательство опустим.

Теорема 4 (о среднем для поверхностного интеграла). Если функция непрерывна на гладкой поверхности , то существует точка поверхности , такая, что для поверхностного интеграла второго рода выполнено равенство

Где - площадь поверхности .

Доказательство опустим.

Примеры

1. Вычислить вдоль кривой

Если

Имеем

2. Найти работу по перемещению материальной точки под действием силы вдоль одного витка винтовой линии .

Работа по перемещению материальной точки равна криволинейному интегралу второго рода . Так как кривая задана параметрически и , то

3. Вычислить поток вектора через часть плоскости лежащую в первом октанте.

Поток вектора через поверхность равен поверхностному интегралу второго рода . Поверхность однозначно проектируется на все три координатные плоскости. Поэтому интеграл может быть вычислен с помощью проектирования на них. Тогда

Где - проекции поверхности на координатные плоскости соответственно. Знаки плюс перед интегралами взяты потому, что вектор нормали к поверхности составляет острые углы со всеми координатными осями. Посчитаем первый интеграл. Имеем Третий интеграл считается аналогично и также равен

Для второго интеграла имеем

Поэтому поток вектора через поверхность равен .

4. Вычислить поток вектора через верхнюю половину сферы радиуса в сторону внешней нормали.

Параметрическое уравнение верхней половины сферы радиуса можно написать в виде , , , где , или, что то же самое, в векторной форме . Тогда

Поэтому

Этот вектор образует с осью Тупой угол, поэтому в качестве вектора нормали берём вектор . Подставляя выражения в функцию и вычисляя скалярное произведение , получаем .