34. Криволинейные и поверхностные интегралы второго рода. Определение

Рассмотрим многообразие Пусть - единичный вектор касательной к в точке , если - кривая, а - единичный вектор нормали к в точке , если - поверхность в Рассмотрим элементарный участок и выберем точку на нём. Введём векторы И где И - длина и площадь соответствующего участка кривой или поверхности, а и вычислены в выбранной точке. Будем считать, что если - кривая, и если - поверхность. Назовём ориентированной мерой соответствующего участка кривой или поверхности.

Определение. Пусть заданы ориентированное непрерывное кусочно-гладкое многообразие и на – вектор-функция Разобьем многообразие на части многообразиями меньшей размерности (кривую – точками, поверхность – кривыми), внутри каждого полученного элементарного многообразия выберем по точке . Посчитаем значения вектор-функции в этих точках, Умножим скалярно эти значения на ориентированную меру данного элементарного многообразия (ориентированные длину или площадь соответствующего участка многообразия) и просуммируем. Предел полученных сумм если он Существует, не зависит от способа разбиения многообразия на части и выбора точек внутри каждого элементарного многообразия, при условии, что диаметр элементарного участка стремится к нулю, называется интегралом по многообразию (криволинейным интегралом, если - кривая и поверхностным, если - поверхность) второго рода, интегралом Вдоль ориентированного многообразия, или интегралом от вектора вдоль , и обозначается в общем случае, в случаях криволинейного и поверхностного интегралов Соответственно.

< Предыдущая		Следующая >