27. Примеры замены переменных в интегралах

1. В интеграле перейдём к полярным координатам. Так как область интегрирования есть четверть круга радиуса , лежащая в первом квадранте, то =.

2. Пусть область - внутренность треугольника с вершинами , , . В интеграле перейти к полярным координатам и расставить пределы интегрирования в нём.

Уравнения прямых , и - , и соответственно. Поэтому угол между радиус-вектором точки, принадлежащей треугольнику , и осью меняется в пределах . Уравнение прямой в полярных координатах переписывается в виде , или, что то же самое, . Поэтому

.

3. Пусть область - внутренность треугольника с вершинами , , . В интеграле перейти к полярным координатам и расставить пределы интегрирования в нём.

Уравнения прямых , и - , и соответственно. Поэтому угол между радиус-вектором точки, принадлежащей треугольнику , и осью меняется в пределах . Уравнение прямой в полярных координатах переписывается в виде , или, что то же самое, . Поэтому

.

4. Пусть область - внутренность треугольника с вершинами , , . В интеграле перейти к полярным координатам и расставить пределы интегрирования в нём.

Уравнения прямых , и есть , и соответственно. Уравнение прямой в полярных координатах имеет вид , или, выражая через , , уравнение прямой имеет вид , или , а уравнение прямой переписывается в виде , или, что то же самое, . С учётом того, что при изменении угла в пределах и длина радиус-вектора точки, принадлежащей треугольнику , меняется в разных пределах, имеем

.

5. Пусть область - внутренность круга с центром в точке и радиуса 1. В интеграле перейти к полярным координатам и расставить пределы интегрирования в нём.

Уравнение данной окружности в декартовых координатах записывается в виде , или, после преобразований, . Переходя к полярным координатам, получаем для этой окружности уравнение . Поэтому

.

6. Пусть область задана неравенствами , . Перейти к полярным координатам и расставить пределы интегрирования в интеграле . Уравнение окружности в полярных координатах имеет вид , а окружности имеет вид . Поэтому

.

Для сферической системы координат матрица Якоби

равна

.

Определитель этой матрицы равен , поэтому модуль Якобиана равен , и формула перехода к сферическим координатам в тройном интеграле приобретает вид

.

Для цилиндрической системы координат матрица Якоби равна

.

Определитель этой матрицы равен , поэтому модуль Якобиана также равен и формула перехода к цилиндрическим координатам в тройном интеграле приобретает вид

.

Примеры

1. Вычислить интеграл , перейдя к сферической системе координат.

Область интегрирования есть верхняя половина шара с центром в начале координат и радиуса . Поэтому . Далее, Следовательно,

2. Вычислить интеграл , перейдя к цилиндрической системе координат.

Область интегрирования есть половина кругового цилиндра радиуса 1, лежащая в полупространстве . Поэтому . Следовательно,

Задание 3.3

В двойном интеграле перейти к полярным координатам и расставить пределы интегрирования, если область задана неравенствами 1. ;

2. ; 3. ;

4.; 5. ; 6.; 7. ; 8. .

В тройном интеграле перейти к сферическим или цилиндрическим координатам и расставить пределы интегрирования, если область задана неравенствами

9.;

10.

11. ;

12. .

Ответы:

1. ; 2. ; 3.; 4. ;

5. ; 6. ; 7. ; 8. ;

9. сферические координаты,

10. цилиндрические координаты,

;

11. цилиндрические координаты,

;

12. цилиндрические координаты,

.

< Предыдущая		Следующая >