23. Замена переменных в кратных интегралах. Криволинейные системы координат

Положение точки на прямой, на плоскости, в и в можно определить различными способами. В частности, это можно сделать, задав её декартовы координаты. Иногда же бывает удобно фиксировать положение точки при помощи других величин, например, связанных с решаемой задачей. Выяснением этих вопросов для общего случая мы и займёмся.

Пусть - области, отображение,

.

Если - биективное (взаимно однозначное) отображение, то будем говорить, что задана криволинейная система координат, так как в этом случае положение точки однозначно определяется точкой . Если вектор-функция дифференцируема, то криволинейную систему координат будем называть регулярной. Заметим, что в этом случае, по теореме о производной обратной функции , обратное отображение, осуществляемое вектор-функцией , дифференцируемо.

Система вектор-функций при образует, как и в случае декартовых координат, систему координатных поверхностей. Пересечения координатных поверхностей образуют координатные поверхности меньшей размерности. В частности, при , отображение задаёт криволинейную систему координат на плоскости, а кривые

,

,

Образуют координатные линии. Аналогично, при , отображение задаёт криволинейную систему координат в пространстве , поверхности

,

,

,

Образуют координатные поверхности, а их пересечения, то есть кривые

Образуют систему координатных линий.

Длины векторов то есть числа , Называются Коэффициентами Ламе криволинейной системы координат. Если вектора Попарно ортогональны, то криволинейная система координат называется ортогональной. В частности, криволинейная система координат на плоскости будет ортогональной, если перпендикулярны векторы , . Аналогично, криволинейная система координат в будет ортогональной, если перпендикулярны векторы , , . Коэффициенты Ламе на плоскости равны , , и в , соответственно, , , .

Заметим, что для ортогональной криволинейной системы координат модуль определителя матрицы Якоби (производной матрицы) равен произведению коэффициентов Ламе.

< Предыдущая		Следующая >