21. Вычисление кратных интегралов. Вычисление двойных интегралов

Рассмотрим вначале самый простой случай прямоугольной области . Предположим, что для всякого существует интеграл . Разобьём отрезки и на части точками Положим , , . Выберем на каждом из отрезков по точке . При любых и справедливо неравенство

Интегрируя это неравенство по на отрезке , имеем

Умножая последнее неравенство на и суммируя, получаем

(3.1)

Заметим, что в левой и правой частях неравенства (3.1) стоят, соответственно, нижняя и верхняя суммы Дарбу для интеграла , которые могут быть введены так же, как и для определённого интеграла. В случае, когда функция непрерывна в области , то каждая из них совпадает с одной из интегральных сумм. Так как , то, переходя в неравенстве (3.1) к пределу, имеем, в случае интегрируемости функции ,

Последнее неравенство эквивалентно соотношению

Аналогично, если существует , то

Обычно вместо пишут

Пусть теперь - криволинейная трапеция, ограниченная линиями и при этом выполнено неравенство . Заключим эту область в прямоугольник , где .

Положим

В силу построения получаем (3.2)

Далее, . Так как то (3.2) можно переписать в виде

Или, что то же самое,

(3.3)

Для криволинейной трапеции, ограниченной линиями ( для ) имеем

(3.4)

Интегралы, стоящие в правых частях формул (3.3) и (3.4), называются повторными, а результат о сведении кратного интеграла к одному из повторных носит название теоремы Фубини.

Примеры

1. Пусть область - внутренность треугольника с вершинами , , . Вычислить интеграл . Перейдём к повторному интегралу типа (3.3) и расставим пределы интегрирования в нём. Найдём уравнения прямых , , . Записывая уравнение прямой, проходящей через две точки, получаем уравнение прямой или, что то же самое, . Аналогично, для прямой : , или. Уравнение прямой имеет вид . Таким образом, область может быть задана неравенствами , . Поэтому

Для перехода к интегралу типа (3.4) требуется разбить область на две. Мы подобное проделаем в следующем примере, а читателю предлагаем в данном примере сделать это самостоятельно

2. Пусть область задана неравенствами . В двойном интеграле перейти к повторным и расставить пределы интегрирования.

Перейдем вначале к повторному интегралу типа (3.3). Тогда . Поэтому

Для перехода к интегралу типа (3.4) требуется разбить область на две: c границами и с границами . Поэтому

3. Пусть область - внутренность треугольника с вершинами , , . В двойном интеграле перейти к повторным и расставить пределы интегрирования. Найдём уравнения прямых , , . Уравнение прямой можно записать в виде или, что то же самое, в форме ; прямой в форме , или; прямой в виде , или. Как для перехода к интегралу вида (3.2), так и для перехода к интегралу вида (3.4) приходится разбивать область на две. Для интеграла вида (3.3) соответствующие области задаются неравенствами , . Таким образом

Расставить пределы интегрирования, взяв внешний интеграл по (то есть представить двойной интеграл в виде повторного интеграла вида (3.4)) предлагается самостоятельно.

4. Пусть область задана неравенствами Тогда

5. Изменить порядок интегрирования в интеграле

Исходная область представлена в виде объединения двух областей и . Таким образом, это область ограничена кривыми , и . Её также можно задать неравенствами . Поэтому

Задание 3.1

В двойном интеграле , для заданной области , перейти к повторным и расставить пределы интегрирования (приведены оба варианта ответа).

1. Область задана неравенствами а) ; б) ; в) ;

г) ; д); е)

2. Область есть внутренность треугольника с вершинами а), , ; б) , , ; в) , , ; г) , , ;

3. Область есть внутренность четырёхугольника с вершинами , , , .

4. В повторном интеграле поменять порядок интегрирования.

А);

Б) ;

В) .

Ответы:

1. а)

; б)

;

В)

; г) ;

Д) ;

Е)

2. а)

Б)

; в) ; г) .

3.

.

4. а) ; б) ; в) .

< Предыдущая		Следующая >