16. Несобственные интегралы второго рода

Если неограничена на , то особенность может быть в точках или внутренней точке этого отрезка. Мы рассмотрим случай с особенностью в точке .

Определение. Пусть задана на полуинтервале и Пусть далее для всякого существует интеграл Предел называется несобственным интегралом второго рода (интегралом от неограниченной функции) и обозначается Если существует и конечен, то несобственный интеграл второго рода называется сходящимся, если же он не существует Или равен бесконечности, то несобственный интеграл второго рода называется расходящимся.

Аналогично определяются несобственные интегралы второго рода в случаях, когда подынтегральная функция бесконечно большая на нижнем пределе, во внутренней точке отрезка , на верхнем и нижнем пределах одновременно. Для удобства изложения мы рассматриваем случай особенности на верхнем пределе. Для остальных вариантов предлагается проделать это самостоятельно.

Примеры.

1. Рассмотрим . Пусть Тогда Таким образом, рассмотренный интеграл при расходится. Пусть теперь Тогда

И мы окончательно получили, что рассматриваемый интеграл при сходится и при расходится. Аналогичные выводы можно сделать про несобственные интегралы ,.

Интегралы , , используются в признаке сравнения в качестве эталонных.

2. В интеграле подынтегральная функция имеет особенность в точке , поэтому

.

Следовательно, интеграл сходится и его значение равно 2.

3. В интеграле подынтегральная функция имеет особенность в точках и , поэтому интеграл разбиваем на сумму двух, например, . Для первого из них

. Следовательно, интеграл расходится и поэтому исходный интеграл также расходится.

4. В интеграле подынтегральная функция имеет особенность в точке , поэтому

Следовательно, интеграл сходится и его значение равно 1.

5. Выясним сходимость интеграла . Подынтегральная функция имеет особенность в точке . Поэтому

Следовательно, интеграл сходится и его значение равно .

6. Выяснить сходимость интеграла

Подынтегральная функция имеет особенность в точке . По определению имеем

7. Выяснить сходимость интеграла

Подынтегральная функция имеет особенность в точке . По определению имеем

8. Выяснить сходимость интеграла .

Подынтегральная функция имеет особенность в точке . Поэтому разбиваем интеграл на сумму двух

. Для первого из них имеем

.

Аналогично доказывается сходимость второго слагаемого. Следовательно исходный интеграл сходится.

Задание 2.6

Используя определение выяснить сходимость несобственных интегралов второго рода.

1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6. ; 7. ; 8. ; 9. .

Ответы: 1.; 2. расходится; 3.; 4.; 5.; 6. ; 7. расходится; 8. расходится; 9. расходится.

Аналогично случаю несобственных интегралов первого рода формулируются и доказываются критерий Коши и признаки сравнения для несобственных интегралов второго рода.

Теорема 2.11.(Критерий Коши). Несобственный интеграл второго рода сходится тогда и только тогда, когда для всякого существует Такое, что для всех выполняется неравенство

Доказательство этого результата опустим.

Теорема 2.12. Пусть для всякого Выполнено неравенство . Тогда, если интеграл сходится, то интеграл сходится, а если интеграл расходится, то интеграл расходится.

Доказательство аналогично случаю несобственного интеграла первого рода.

Теорема 2.13. Если и - бесконечно большие одного порядка роста, то есть , то интегралы И либо оба сходятся, либо оба расходятся.

Доказательство аналогично случаю несобственного интеграла первого рода.

Примеры

1. Для интеграла подынтегральная функция имеет особенность в точках и . Точки в промежуток интегрирования не входят. Поэтому, находя порядок роста этой функции относительно , имеем

Таким образом, порядок роста равен 0,5 и интеграл сходится.

2. В интеграле подынтегральная функция имеет особенность в точках и . Точки и в промежуток интегрирования не входят. Поэтому, находя порядок роста этой функции относительно , имеем

Таким образом, порядок роста равен и интеграл сходится.

3. Выясним сходимость интеграла .

Подынтегральная функция имеет особенность в точке . Находя порядок роста этой функции относительно , имеем

Таким образом, порядок роста равен 1,5 и интеграл расходится.

4. В интеграле подынтегральная функция имеет особенность в точке . Находя порядок роста этой функции относительно , имеем

Таким образом, порядок роста равен И интеграл сходится.

5. Выясним сходимость интеграла

Подынтегральная функция имеет особенность в точке . Находя порядок роста этой функции относительно , имеем

Таким образом, порядок роста равен И интеграл сходится.

6. В интеграле подынтегральная функция имеет особенность в точке . Находя порядок роста этой функции относительно , имеем

Таким образом, порядок роста равен И интеграл сходится.

7. Выяснить сходимость интеграла

Подынтегральная функция имеет особенность в точках и Обе входят в промежуток интегрирования. Разбиваем интеграл на два

Первый из этих интегралов сходится, так как порядок роста подынтегральной функции при относительно равен , а второй расходится, так как порядок роста подынтегральной функции при относительно равен 1. Поэтому интеграл расходится.

Задание 2.7

Используя теорему сравнения выяснить сходимость несобственных интегралов. В ответе указаны: точка, в которой функция бесконечно большая; порядок роста подынтегральной функции относительно пробной функции; сходимость.

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ; 7. ;

8. ; 9. ; 10. .

Ответы: 1. , , сходится; 2. , сходится; 3. , , сходится; 4. , сходится; 5. , расходится; 6. , , сходится; 7. , сходится; 8. , сходится; 9. , , сходится; 10. , сходится;

< Предыдущая		Следующая >