15. Несобственные интегралы. Несобственные интегралы первого рода

Выше был определён интеграл для ограниченных и заданных на ограниченном отрезке функций. Распространим понятие интеграла на случаи, когда одно или оба этих условия нарушаются.

Определение. Пусть задана на бесконечном промежутке и для всякого существует интеграл Предел называется несобственным интегралом первого рода (интегралом по неограниченному промежутку) и обозначается Если существует и конечен, то несобственный интеграл первого рода называется сходящимся, если же он не существует или равен Бесконечности, то несобственный интеграл первого рода называется расходящимся.

Примеры.

1. Рассмотрим . Пусть Тогда Таким образом, рассмотренный интеграл при расходится. Пусть теперь Тогда

И мы окончательно получили, что рассматриваемый интеграл при расходится и при сходится. Этот интеграл часто используется в признаке сравнения в качестве эталонного.

2. Выясним сходимость интеграла .

Имеем

. Следовательно, интеграл сходится и его значение равно .

3. Выяснить сходимость интеграла . По определению получаем

.

Следовательно, интеграл сходится и его значение равно .

4. Для интеграла имеем

.

Следовательно, интеграл расходится.

5. Для интеграла по определению имеем

.

Следовательно, интеграл сходится и его значение равно 1.

6. Выяснить сходимость интеграла , .

По определению

Следовательно, интеграл сходится и его значение равно .

Задание 2.4

Вычислить несобственные интегралы первого рода или доказать их расходимость.

1. ; 2.; 3. ; 4. ;

5. ; 6. .

Ответы: 1. ; 2. расходится; 3. ; 4. расходится; 5. расходится; 6. .

Нам в дальнейшем понадобится следующий важный результат.

Теорема 2.8. (Критерий Коши). Несобственный интеграл первого рода сходится тогда и только тогда, когда для всякого существует Такое, что для всех выполнено неравенство

Доказательство этого результата опустим.

Определение. Несобственный интеграл первого рода называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл

Отметим, что если несобственный интеграл первого рода сходится абсолютно, то он сходится. Действительно, тогда для интеграла выполнен критерий Коши, а в силу справедливости неравенства , критерий Коши выполнен и для интеграла

Обратное утверждение неверно.

Сходимость несобственного интеграла определяется аналогично. Предлагается проделать это самостоятельно.

Для несобственного интеграла можем записать и назвать этот интеграл сходящимся, если сходятся оба слагаемых. Если хотя бы один из этих интегралов расходится, то будем считать интеграл расходящимся. В качестве точки выбирают обычно 0.

Пример. Рассмотрим интеграл По определению сходимости этого интеграла получаем

Так как оба слагаемых расходятся, то исходный интеграл расходится. Получаемая при этом неопределённость при разных скоростях стремления к и к даёт разные результаты. В частности, если , , то

.

Если , , то абсолютно аналогично показывается, что этот предел равен . Подобрав скорости стремления к и к можно получить в пределе любое заранее заданное число от до .

С другой стороны, при согласованном стремлении верхнего и нижнего пределов к можем записать

Это дает возможность ввести новое понятие.

Определение. Говорят, что несобственный интеграл первого рода сходится в смысле главного значения Коши, если существует и конечен предел .

Рассмотренный выше пример показывает, что несобственный интеграл первого рода может сходиться в смысле главного значения Коши и расходиться в обычном смысле.

Отметим несколько свойств несобственных интегралов первого рода

1. Если интеграл сходится, то для всякого интеграл сходится и

2. Если интеграл сходится, то сходится интеграл и имеет место равенство

3. Если интегралы и сходятся, то сходятся интегралы и имеет место равенство

Обратное утверждение неверно, то есть, если интеграл от алгебраической суммы функций сходится, то интегралы от слагаемых сходиться не обязаны. Например, интегралы и расходятся, а интеграл , как будет показано позднее, сходится.

Для других типов несобственных интегралов первого рода свойства аналогичны.

Сходимость не всех несобственных интегралов первого рода просто выяснить по определению. Поэтому часто используют так называемые признаки сравнения в непредельной и предельной формах.

Теорема 2.9. Пусть для всякого Выполнено неравенство . Тогда, если интеграл абсолютно сходится, то интеграл абсолютно сходится, а если интеграл абсолютно расходится, то интеграл абсолютно расходится.

Доказательство. Действительно, в условиях теоремы для всех имеем . Тогда, если интеграл сходится, то есть монотонно возрастающая ограниченная сверху функция от и поэтому имеет предел при . Если интеграл расходится, то и поэтому .

Теорема 2.10. Если и - бесконечно малые в одного порядка малости, то есть , то интегралы И либо оба абсолютно сходятся, либо оба абсолютно расходятся.

Доказательство. Так как , то . Возьмем . По определению предела существует такое, что для всех выполнено неравенство а, следовательно, и неравенство Из последнего неравенства и теоремы 2.9 получаем утверждение теоремы.

Замечание. После изучения теоремы 2.10 может сложиться впечатление, что для сходимости несобственного интеграла первого рода, в том числе и абсолютной, необходимо, чтобы подынтегральная функция была бесконечно малой при . То, что это не так, показывает следующий пример [15].

Возьмем функцию, график которой состоит из отрезков прямых, соединяющих точки , , , . Ее аналитическое выражение имеет вид

Площадь, заключенная между графиком этой функции и осью , равна сумме площадей треугольников с вершинами в точках , , , . Так как площадь каждого такого треугольника равна , , то . Заметим, что условие ограниченности функции несущественно, так как вершины треугольников можно взять, например, в точках , , , ..

Примеры

1. Выяснить сходимость интеграла

Так как для всех а интеграл сходится, то и исходный интеграл тоже сходится.

2. Выяснить сходимость интеграла

Находя порядок малости подынтегральной функции относительно функции, получаем

Таким образом, порядок малости подынтегральной функции относительно равен 2 и так как сходится, то исходный интеграл сходится.

3. Выяснить сходимость интеграла

Находя порядок малости подынтегральной функции относительно функции, получаем

Таким образом, порядок малости подынтегральной функции относительно равен 1,5 и так как сходится, то исходный интеграл сходится.

4. Выяснить сходимость интеграла

Находя порядок малости подынтегральной функции относительно функции, получаем

Таким образом, порядок малости подынтегральной функции относительно равен И, следовательно, интеграл сходится.

5. Выяснить сходимость интеграла

Находя порядок малости подынтегральной функции относительно функции, получаем

Таким образом, порядок малости подынтегральной функции относительно равен 1,5 и, следовательно, интеграл сходится.

6. Выяснить сходимость интеграла

Находя порядок малости подынтегральной функции относительно функции, получаем

Таким образом, порядок малости подынтегральной функции относительно равен 0,5 и, следовательно, интеграл расходится.

7. Интеграл сходится, так как имеет место оценка для всех , а интеграл , как было показано ранее, сходящийся.

8. Интеграл расходится, так как имеет место оценка для всех , а интеграл, как было показано ранее, расходится.

Задание 2.5

Используя признак сравнения выяснить сходимость несобственных интегралов. В ответе указана сходимость и порядок малости подынтегральной функции относительно .

1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. .

Ответы: 1. сходится, ; 2. сходится, ;

3. расходится, ; 4. сходится, ; 5. сходится, ;

6. сходится, ;

< Предыдущая		Следующая >