11. Определённый интеграл. Определение, свойства, существование

Определение. Пусть функция определена и ограничена на отрезке (). Разобьем отрезок на части точками , выберем внутри каждого элементарного отрезка по точке (если , то разбиваем точками и Выбираем из отрезка ) и составим сумму . Предел сумм по всевозможным разбиениям, если этот предел существует, не зависит от способа разбиения, способа выбора точек , при условии, что максимальная длина отрезков стремится к нулю, называется определенным интегралом (интегралом Римана) от функции и обозначается , а сама функция называется интегрируемой по Риману.

Строго говоря, функция Интегрируема по Риману на отрезке и , если для всякого найдётся такое, что для любого разбиения отрезка , удовлетворяющего условию , и интегральных сумм , построенных с помощью этого разбиения, выполняется неравенство .

Отметим некоторые свойства определенного интеграла при условии существования всех используемых ниже интегралов.

1. Следует из определения, так как все меняют знак.

2. Действительно, если , то, включив в число точек разбиения, получаем требуемое. Если , то при применяем только что доказанное к отрезку и пользуемся свойством 1. При аналогично.

3.

4.

5. Если На и , то .

6. Если на и , то .

7.

8. Если и , то

9. где - некоторое число, .

Свойства 3 - 9 следуют из определения, так как все записанные в них соотношения справедливы для любых интегральных сумм и сохраняются при переходе к пределу.

10. Если Непрерывна на , то существует точка из такая, что

Действительно, так как Непрерывна на , то по теореме о промежуточных значениях существует точка из такая, что , что, в силу свойства 9, влечёт требуемое.

Выясним условия интегрируемости функции .

Пусть - какое-нибудь разбиение отрезка . Положим , , где - точная нижняя грань, а - точная верхняя грань множества . Заметим, что - наименьшее, а - наибольшее значения функции на отрезке и, если функция непрерывна, то, по второй теореме Вейерштрасса, наименьшее и наибольшее значения достигаются и вместо и можно написать и . Суммы и Называются нижней и верхней суммами Дарбу. Заметим, что для любого разбиения отрезка и любой интегральной суммы , построенной с использованием этого разбиения, выполняется неравенство .

Отметим некоторые свойства сумм Дарбу.

Теорема 2.1 При добавлении числа точек разбиения нижняя сумма Дарбу не уменьшается, а верхняя не увеличивается.

Доказательство. Достаточно доказать теорему в случае, когда добавлена всего лишь одна точка . Тогда в нижней сумме Дарбу вместо слагаемого появится сумма , в которой , . Так как (при уменьшении промежутка наименьшее значение функции может только увеличиться), то

.

Так как все остальные слагаемые остались без изменения, то монотонное возрастание нижних сумм Дарбу доказано. Аналогично доказывается, что верхняя сумма Дарбу при добавлении числа точек разбиения не увеличивается. Теорема доказана.

Самым простым разбиением отрезка является разбиение состоящее из точек и . Этому разбиению соответствуют суммы Дарбу и , где , . Из теоремы 2.1 следует справедливость неравенств для любых разбиений отрезка и поэтому множество нижних сумм Дарбу ограничено сверху и, как ограниченное сверху множество, имеет точную верхнюю грань. Аналогично доказывается, что множество верхних сумм Дарбу, как ограниченное снизу множество, имеет точную нижнюю грань. и называются, соответственно, нижним и верхним интегралами Дарбу. Нетрудно показать, что , . Действительно, по определению точной верхней грани, для произвольной окрестности числа найдётся разбиение отрезка такое, что нижняя сумма Дарбу, соответствующая этому разбиению, принадлежит (). Рассматривая последовательность разбиений, вложенных в найденное, получаем наше утверждение. Аналогично для верхнего интеграла Дарбу. Из свойств пределов в неравенствах следует, что .

Теорема 2.2. Функция интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда .

Доказательство. Необходимость. Пусть функция интегрируема по Риману. Возьмём произвольное и зафиксируем его на процесс дальнейших рассуждений. Тогда, по сказанному выше, для этого найдётся такое, что для любого разбиения отрезка для которого и интегральных сумм , построенных с помощью этого разбиения, выполняется неравенство . Далее, по определению точной верхней грани, для выбранного существует интегральная сумма такая, что . Поэтому для любого разбиения отрезка для которого . Последнее означает, что . Аналогично показывается, что и для верхних сумм Дарбу . Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть . Обозначим их общее значение через . Так как, по доказанному ранее, и для любого , то, по теореме о зажатой функции , предел интегральных сумм существует и равен . Теорема доказана.

С помощью только что доказанной теоремы можно заняться выделением множества функций интегрируемых по Риману.

Теорема 2.3. Всякая непрерывная на отрезке функция интегрируема по Риману на этом отрезке.

Доказательство. Пусть функция непрерывна на отрезке и - точки наименьшего и наибольшего значений этой функции на каждом из отрезков , которые достигаются согласно второй теореме Вейерштрасса. Так как непрерывна на отрезке , то, согласно теореме Римана , она равномерно непрерывна, то есть для любого существует такое, что для всех , удовлетворяющих условию , выполнено неравенство . Пусть, теперь, разбиение отрезка таково, что . Тогда, по только что сказанному, для любого (знак модуля опущен, так как разность неотрицательна). Поэтому . Следовательно, и, по предыдущей теореме, функция интегрируема по Риману на отрезке .

Следствие. Функция имеющая на отрезке конечное число точек разрыва первого рода интегрируема по Риману.

Доказательство. Разбиваем отрезок на участки непрерывности. На каждом из них функция интегрируема. По свойству 2 аддитивности интеграла получаем требуемое.

Теорема 2.4. Всякая монотонная на отрезке функция интегрируема по Риману на этом отрезке.

Примем эту теорему без доказательства.

Доказательство существования интеграла Римана для других классов функций требует введения новых понятий и дополнительных рассмотрений. Желающие могут ознакомиться с этим в .

Примером функции для которой не существует интеграл Римана служит функция Дирихле

Действительно, если при любом разбиении отрезка точки выберем рациональными, то интегральная сумма будет равна длине отрезка интегрирования, а если точки выберем иррациональными, то интегральная сумма будет равна нулю. Отсюда следует, что предел интегральных сумм зависит от выбора точек И поэтому интеграл Римана от функции Не существует.

< Предыдущая		Следующая >