12. Интеграл как функция верхнего предела. Формула Ньютона-Лейбница

Рассмотрим функцию . Эту функцию называют: интеграл как функция верхнего предела. Отметим несколько свойств этой функции.

Теорема 2.5. Если интегрируемая на функция, то непрерывна на .

Доказательство. По свойству 9 определенного интеграла (теорема о среднем) имеем , откуда, при , получаем требуемое.

Теорема 2.6. Если непрерывная на функция, то функция дифференцируема на и .

Доказательство. По свойству 10 определенного интеграла (вторая теорема о среднем), имеем где С – некоторая точка отрезка . В силу непрерывности функции Получаем

Доказанная теорема решает задачу восстановления первообразной для непрерывной функции с помощью интеграла как функции верхнего предела и даёт конструктивное доказательство (то есть доказательство с построением объекта, существование которого утверждается) теоремы 1.1. Более того, если функция имеет на отрезке конечное число точек разрыва первого рода, то, разбивая отрезок на участки непрерывности функции , получаем, что с помощью интеграла как функции верхнего предела можно восстановить обобщённую первообразную и в этом случае, а заодно и установить справедливость теоремы 1.2.

Таким образом, - одна из первообразных функции следовательно, Где - другая первообразная Далее, так как то следовательно, и поэтому Полагая , получаем формулу Ньютона-Лейбница

Из формулы Ньютона-Лейбница следует, что для вычисления определённых интегралов мы можем применять весь набор приёмов и методов нахождения неопределённых интегралов.

Примеры