10. Задача интегрирования в конечном виде

В этой главе мы научились находить первообразные, а, следовательно и неопределённые интегралы, для некоторых типов функций. В связи с этим совершенно естественным является вопрос о классе функций для которого существует первообразная. Ответ на него даёт следующая теорема.

Теорема. Для любой непрерывной функции существует первообразная.

Обобщение понятия первообразной на функции имеюшие конечное число точек разрыва даётся следующим образом.

Определение. Функция называется первообразной для функции (дифференциала ) на отрезке , Если дифференцируема на , за исключением конечного числа точек, и во всех точках существования производной функции .

Справедлива следующая теорема.

Теорема. Для любой функции, имеющей конечное число точек разрыва 1-го рода существует первообразная дифференцируемая во всех точках непрерывности подынтегральной функции.

Доказательство этих результатов, а также решение задачи восстановления первообразной будет приведено в п. 2.2.

Как известно, элементарными функциями называют степенную, показательную, логарифмическую, тригонометрические и им обратные функции, а также полученные из перечисленных с помощью конечного числа их суперпозиций и конечного числа операций сложения, умножения, вычитания, деления и извлечения корня. При изучении производных мы видели, что производная элементарной функции снова есть элементарная функция. Для первообразной это не так. Не для каждой элементарной функции первообразная есть элементарная функция. Это даёт возможность введения новых, неэлементарных функций, с помощью операции интегрирования. Интегралы от функций, для которых первообразная не является элементарной функцией, называются неберущимися. Наиболее известными неэлементарными функциями являются , - интегральный синус, - интегральный косинус, - интегральный логарифм.

< Предыдущая		Следующая >