09. Интегрирование простейших иррациональностей и выражений, содержащих тригонометрические функции

Рациональной функцией переменных назовём отношение двух полиномов от этих переменных, или, что тоже самое, отношение двух линейных комбинаций целых степеней этих переменных.

Пусть – рациональная функция от Эта функция, а следовательно, и интеграл от неё, рационализируется подстановкой Где – наименьшее общее кратное чисел . Тогда и под интегралом стоит рациональная функция от Аналогично, если подынтегральное выражение есть рациональная функция от , то подынтегральная функция рационализируется подстановкой где – наименьшее общее кратное чисел . Тогда Подставляя в исходное выражение, получаем рациональную функцию от

Примеры.

1. Вычислить Наименьшее общее кратное чисел 2 и 3 равно 6. Поэтому делаем замену Тогда и

2. Вычислить . Наименьшее общее кратное чисел 2 и 5 равно 10. Поэтому делаем замену Тогда И

3. Наименьшее общее кратное чисел 2 и 4 равно 4. Поэтому делаем замену Тогда и

Для интегрирования рациональных функций вида применяют подстановку , которая называется универсальной тригонометрической подстановкой. Тогда К сожалению, универсальная тригонометрическая подстановка часто приводит к большим вычислениям. Поэтому, по возможности, пользуются следующими подстановками. Если , то делают замену и тогда При , полагают при этом а в случае делают замену , при которой , , или . Проиллюстрируем сказанное примерами.

Примеры

1. Вычислить интеграл .

Делаем замену . Тогда

2. Вычислить интеграл .

Делая замену , получаем

3. Найти интеграл .

Делаем замену Подставляя, получаем

Заметим, что в данном примере лучше было сделать замену , так как эта подстановка быстрее приводит к цели. Действительно, тогда и поэтому

.

4. Вычислить интеграл .

Делаем замену . Тогда

5. Вычислить интеграл .

Делая замену , получаем

.

6. Найти интеграл .

Делаем замену Подставляя, получаем

.

Для интегрирования рациональных выражений вида применяют замену или , выражений вида - подстановку или , а для интегрирования выражений вида применяют замену или . Возможно в этих случаях пользоваться так же заменами с гиперболическими функциями.

Примеры

1. Для вычисления интеграла воспользуемся заменой . Тогда и исходный интеграл равен интегралу . Тогда Делая обратную замену , получаем . После преобразований получаем .

2. Для вычисления интеграла воспользуемся заменой . Тогда и исходный интеграл равен интегралу . Тогда Делая обратную замену , получаем . После преобразований получаем .

Задание 1.5

Вычислить интегралы:

1. ; 2. ;

3. ; 4. ; 5. ;

6. ; 7. ; 8. .

Ответы: 1. ;

2. ; 3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7.; 8. .

< Предыдущая		Следующая >