08. Интегрирование рациональных дробей

Рациональной дробью или рациональной функцией называется отношение двух полиномов (многочленов), то есть выражение вида , где

Полиномы (многочлены) степеней K и N соответственно. Если степень полинома (многочлена) в числителе меньше степени полинома в знаменателе, то есть то такую рациональную дробь называют правильной.

В дальнейшем будем считать, что , так как в противном случае всегда можно представить числитель в виде где И -полиномы, называемые обычно, как и в случае действительных чисел, частным и остатком, причем степень полинома меньше N. Тогда

, (1.2)

А интеграл от полинома Мы вычислять умеем.

Покажем на примере, как можно получить разложение (1.2). Пусть

Разделим полином На полином Так же, как мы делим вещественные числа. Имеем

Таким образом, мы получили целую часть дроби (частное от деления полинома На полином ) и остаток от этого деления. Поэтому можем записать .

Простейшими рациональными дробями назовём дроби , , , , , ,, .

Рассмотрим интегрирование этих дробей. Интегралы , , являются табличными, а интеграл может быть найден или по рекуррентной формуле (1.1) полученной выше интегрированием по частям, или с помощью таблиц . Интегралы , в случае, когда знаменатель имеет комплексные корни (дискриминант ), сводятся, с помощью выделения полного квадрата, к интегралам , заменой . Наконец, как это указывалось ранее, интегралы , выделением в числителе дифференциала выражения Сводятся к интегралам , .

Таким образом, осталось научиться раскладывать правильные рациональные дроби на сумму простейших.

По основной теореме алгебры [6] любой полином может быть разложен на простейшие множители, то есть представлен в виде , где –действительные или комплексные корни полинома , повторенные столько раз, какова их кратность.

Пусть полином имеет различных корней . Тогда правильная рациональная дробь может быть представлена в виде , где - числа, подлежащие определению. Если - корень кратности α, то ему в разложении на простейшие дроби соответствует α слагаемых . Если - комплексный корень кратности Полинома с действительными коэффициентами, то комплексно сопряженное число - тоже корень кратности этого полинома. Чтобы не иметь дело с комплексными числами при интегрировании рациональных дробей, слагаемые в разложении правильной рациональной дроби, соответствующие парам комплексно сопряженных корней, объединяют и записывают одним слагаемым вида если – корни кратности один. Если – корни кратности , то им соответствует Слагаемых и соответствующее разложение имеет вид

Таким образом, интегрирование правильных рациональных дробей свелось к интегрированию простейших дробей рассмотренных в начале пункта.

Одним из способов нахождения коэффициентов в разложении правильной рациональной дроби является следующий. Правую часть полученного разложения с неопределенными коэффициентами приводят к общему знаменателю. Так как знаменатели правой и левой частей равны, то должны быть равны и числители, которые являются полиномами. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях (так как полиномы равны, если равны коэффициенты при одинаковых степенях ), получаем систему линейных уравнений для определения этих коэффициентов. Продемонстрируем изложенное на примерах.