07. Простейшие преобразования подынтегрального выражения
Рассмотрим некоторые преобразования подынтегрального выражения, применение которых позволяет, иногда, достаточно легко найти интеграл.
Выделение целой части.
Суть приёма видна из примеров.
Примеры
1.
2.
3. 
4. 
5. 
Преобразование тригонометрического выражения.
Наиболее часто применяются понижение степени с использованием формул
, 
,
Преобразование произведения в сумму по формулам
,
,
И некоторые другие.
Примеры
1.
2.
3.
4.
5. 
.
6. 
.
Выделение полного квадрата.
Иногда удаётся получить табличный интеграл выделив в подынтегральной функции выражения вида 
, то есть полный квадрат двучлена 
. Покажем на примерах, как это делается.
Примеры
1. Вычислить интеграл 
.
Имеем 
. Сделав замену 
, окончательно получаем 
.
2. Вычислить интеграл 
.
Имеем 
. Поэтому 
.
3. . Вычислить интеграл 
.
Имеем 
. Поэтому 
.
Выделение дифференциала.
Интегралы 
, 
выделением в числителе дифференциала выражения 
Сводятся к интегралам 
, 
.
Пример.
Вычислить интеграл 
.
Производная знаменателя равна 
. Поэтому 
. (Интеграл найден ранее ).
Аналогично, интеграл 
выделением в числителе дифференциала подкоренного выражения сводится к интегралу 
. Приллюстрируем это на примере.
Пример.
Вычислить интеграл 
.
Производная подкоренного выражения равна 
. Поэтому
Задание 1.3.
Найти интегралы:
1. 
; 2. 
; 3 
; 4. 
; 5. 
; 6. 
; 7.
; 8. 
; 9. 
; 10. 
; 11. 
;
12. 
; 13. 
; 14. 
;
15. 
; 16. 
.
Ответы: 1. 
; 2. 
;
3. 
; 4. 
; 5. 
; 6. 
; 7. 
;
8. 
; 9. 
;
10. 
; 11. 
; 12. 
; 13. 
; 14. 
; 15. 
; 16. 
.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
