5.1. Способы описания движения точки. Координатный способ задания движения точки

Механика изучает движение. Кинематика – это раздел теоретической механики, в котором для различных законов движения в пространстве геометрических объектов, таких как точка или тело, определяют их кинематические характеристики. К основным кинематическим характеристикам движения относят: Траектории, Скорости и Ускорения.

Основная задача кинематики состоит в определении кинематических характеристик движения по заданному для него закону. Решение основной задачи кинематики для движущихся геометрических объектов (точки, тела) рассматривают в определенной системе отсчета.

Любые три независимые величины , однозначно определяющие положение точки в трехмерном пространстве, могут рассматриваться как координаты этой точки. При этом радиус-вектор точки является функцией этих координат, т. е. При изменении одной из координат и фиксированных остальных конец радиус-вектора вычерчивает линию, которую называют координатной линией Координатные линии, вообще говоря, кривые, и поэтому координаты называют криволинейными. Единичные орты , направленные по касательным к координатным линиям в точке М пространства в сторону возрастания соответствующих координат, определяют в каждой точке пространства криволинейную систему координат, причем

Вектор скорости

, (5.1)

Где

(5.2)

Равенство (5.1) представляет собой разложение (но не ортогональное проектирование!) вектора скорости по осям криволинейной системы координат. Ортогональные проекции вектора скорости на оси Равны

(5.3)

Коэффициенты Hi называются коэффициентами Ламе и находятся из соотношения

Где DSi – дифференциал дуги I-ой координатной линии при изменении I-ой координаты и фиксированных остальных.

В самом деле, в прямоугольной системе координат

DS2 = dx2+ dy2+ dz2, (5.5)

Но

Подставляя значения Dx, dy, dz в (5.5), получим

, (5.6)

Где

Предполагая, что изменяется лишь одна координата, а две другие фиксированы, получим (5.4), т. е. коэффициенты Ламе получаются как множители дифференциалов координат в выражениях для дифференциалов дуг соответствующих координатных линий. Если система криволинейных координат ортогональна, т. е. если при

, (5.7)

То Hik = 0 и

Поэтому в случае ортогональной системы координат для модуля вектора скорости получаем

(5.8)

Ортогональные проекции вектора ускорения точки на оси произвольной криволинейной системы координат имеют вид

(5.9)

Как видно из формулы (5.9), проекции ускорения на координатные оси qi получаются дифференцированием выражения для квадрата скорости. При этом следует иметь в виду, что и независимы, что отражает факт независимости следующих событий: находиться в какой-либо точке пространства и иметь в этой точке какую-либо скорость. Кроме того, изучается не движение по некоторой заданной траектории, а способ описания любых движений. Иначе говоря, рассматривается вся совокупность допустимых движений, и выбор точки пространства задает только ее положение, никак не ограничивая направление и величину вектора скорости.

Пример 1. Для движущейся точки найти скорость и проекции ускорения на касательные к координатным линиям цилиндрической системы координат (рис. 5.1).

Решение. Так как система координат ортогональна, то

Найдем коэффициенты Ламе, рассматривая элементы дуг вдоль соответствующих координатных линий: , откуда имеем , , откуда имеем , , откуда имеем . Следовательно,

,

Выполняя операции дифференцирования в соответствии с формулой (5.9), получаем

При движении точки в плоскости Z = const первые две компоненты ускорения задают радиальную и трансверсальную Компоненты ускорения в полярной системе координат.

< Предыдущая		Следующая >