5.2. Описание движения точки с помощью осей естественного трехгранника

Подвижный базис, который сопровождает точку М при её движении по кривой, во втором разделе назван Естественным базисом или Трехгранником Френе (рис. 2.1). Кривую, которая образуется при движении материальной точки, называют траекторией. В каждой точке траектории можно построить три взаимно перпендикулярные оси, непосредственно связанные с траекторией. Если начало их помещено в движущуюся точку, то оси, направленные по касательной, нормали и бинормали траектории ( – единичные орты этой системы) называются естественными осями. Вектор скорости направлен по касательной к траектории . Вектор ускорения всегда лежит в соприкасающейся плоскости траектории, и поэтому проекция его на бинормаль равна нулю Проекции вектора ускорения на касательную и главную нормаль к траектории равны соответственно

, , (5.10)

Где – радиус кривизны траектории в данной точке.

Пример 2. Найти касательное и нормальное ускорения точки, а также радиус кривизны ее траектории, если движение точки выражается уравнениями

, .

Решение. Для определения касательного и нормального ускорения найдем сначала скорость Так как , то Откуда

Так как радиус кривизны траектории неизвестен, найдем нормальное ускорение из равенства

Для этого нужно сначала найти . Так как , , то Поэтому

Теперь нетрудно определить

Пример 3. Движение электрона в магнитном поле описывается уравнениями

, (5.11)

Где А>0, B>0, – постоянные величины. Найти уравнение траектории, скорость и ускорение электрона в цилиндрических координатах.

Решение. Зависимость между декартовыми и цилиндрическими координатами выражается соотношениями , что позволяет записать уравнения движения электрона в цилиндрических координатах в виде:

. (5.12)

Из уравнений (5.12) следует, что электрон движется по винтовой линии на цилиндре радиуса А. Если предположить, что B>0, > 0, то траектория электрона – правая винтовая линия в полупространстве (рис. 5.2).

Уравнение траектории находим, исключая из (5.12):

Отсюда видно, что винтовая линия получается “наклеиванием” прямой на цилиндр радиуса А.

Скорость электрона определим по формуле (5.1). В рассматриваемом случае она принимает вид

. (5.13)

Из уравнений (5.12) следует, что .

Параметры Ляме определяем на основании формул (5.2):

, (5.14)

. (5.15)

Равенство (5.13) на основании соотношений (5.14) – (5.15) принимает вид

, .

Отсюда следует, что электрон движется по винтовой линии с постоянной скоростью.

Проекции ускорения электрона определяем по формулам (5.9), которые в рассматриваемом случае имеют следующий вид:

, (5.16)

, (5.17)

. (5.18)

Вычисляя, находим

. (5.19)

Из формул (5.19) следует, что вектор ускорения электрона имеет постоянную величину и направлен вдоль радиуса цилиндра к его оси.

Пример 4. Движение точки М Задано в тороидальной системе координат (рис. 5.3). Определить вектор скорости и вектор ускорения точки в этих координатах.