3.7. Линии кривизны

Линия, которая в каждой точке имеет касательную главного направления, называется Линией кривизны.

В связи с этим определением выпишем два следствия из предыдущей теоремы.

Следствие 1. Через каждую точку проходят две линии кривизны.

Следствие 2. На каждой поверхности (кроме сферы) есть два семейства линий кривизны; они всегда действительны и образуют ортогональную сеть. На сфере линии кривизны неопределенные.

Следствие 3. Обращение в нуль средних коэффициентов двух квадратичных форм необходимо и достаточно, чтобы поверхность была отнесена к линиям кривизны.

Достаточность была доказана в разделе 2.1. Действительно, из условий , мы получили (см. равенство (3.21)), что или . Докажем необходимость. Если поверхность отнесена к линиям кривизны, то уравнение (3.19) допускает решения и . Полагая по очереди и , получаем

, . (3.22)

Рассматривая (3.22) как систему линейных алгебраических однороднх уравнений относительно и , получаем, что эта система допускает лишь тривиальное решение , , если определитель системы не обращается в нуль, т. е. . Этот определитель равен нулю только для сферы.

< Предыдущая		Следующая >