3.4. Дифференциал площади поверхности

Рассмотрим координатную сеть линий на поверхности и криволинейный четырёхугольник, образованный линиями с постоянными значениями координат U И U+DU, V И V+DV, пересекающимися в точках (рис. 3.1). Выделяя главные части приращений

И приближенно (при малых ) заменяя криволинейный четырёхугольник параллелограммом, построенным на векторах и , как показано на рис. 2.1, запишем площадь параллелограмма в виде

.

С учётом формулы (3.7) находим

. (3.11)

Поскольку криволинейный четырёхугольник мало отличается от параллелограмма при , величину называют Дифференциалом площади поверхности

Пример 1. Геликоид. Эта поверхность получается при винтовом движении отрезка прямой, параллельного плоскости и пересекающего ось (ось винтового движения). Проекция отрезка прямой на плоскость равномерно вращается около начала координат, а точка пересечения с осью равномерно перемещается по этой оси (рис. 3.2).

Запишем вектора

,

,

,

Тогда , , , линейный элемент

.

Координатные линии здесь записываются таким образом:

– линия – винтовая линия; при полном обороте (на угол 2P) проекции точка М поднимается на 2PА, где А – шаг винта;

– линия во всех точках имеет одну и ту же аппликату ; проекция линии на плоскость Определяется уравнением .

Пример 2. Поверхность вращения. Пусть в плоскости, проходящей через ось Oz , задана линия M

,

Где Z И R - прямоугольные декартовы координаты в этой плоскости, причем ось Or лежит на пересечении этой плоскости с плоскостью XOY. Пусть теперь M вращается вокруг оси Oz. Вводя на плоскости XOY полярные координаты R,J , получаем для точки P (проекции точки M, лежащей на линии M) следующие координаты, которые при вращении линии будут изменяться вместе с углом вращения j

.

Точка М имеет эти две координаты и ещё третью координату

.

Таким образом, радиус-вектор произвольной точки, лежащей на поверхности вращения, имеет вид

,

, ,

.

Тогда

, , ,

Линейный элемент

.

Так как , то координатные линии образуют ортогональную сеть. Линии j=Const Называются меридианами (они получаются в сечении поверхности плоскостями, проходящими через ось вращения). Линии R=const называются параллелями (они получаются в сечении поверхности плоскостями, перпендикулярными оси Oz), это окружности с центрами на оси Oz.

< Предыдущая		Следующая >