3.8. Направляющие косинусы вектора И нормальное уравнение прямой

Напомним, что любой геометрический вектор характеризуется его модулем и направлением. Направление вектора = на плоскости определяется углами и (см. рис. 23), образованными им с осями координат и . Косинусы этих углов (так называемые Направляющие косинусы вектора) определяются по формулам:

= = , = = . (12)

Направляющие косинусы вектора на плоскости связаны соотношением

Пример 28. Пусть = . Найти направляющие косинусы данного вектора, а также углы и .

Решение. Имеем:

= , = , = = = 3;

= = , = = . Отсюда = , = .

Утверждение 10. Координаты единичного вектора совпадают с его направляющими косинусами. Направляющие косинусы любого вектора совпадают с координатами его Орт-вектора (единичного вектора, имеющего то же направление, что и исходный вектор).

При решении задач по аналитической геометрии часто используют Нормальное уравнение прямой на плоскости (рис. 24)

. (13)

Здесь — угол между вектором и осью где — проекция точки (начала координат) на эту прямую, — длина вектора .

Таким образом, — вектор, выходящий из начала координат и перпендикулярный к прямой, а — расстояние от начала координат до прямой. Заметим еще, что и суть направляющие косинусы нормального вектора этой прямой.

Из общего уравнения прямой легко получить нормальное, если его разделить на коэффициент (Нормирующий множитель). Следует правильно выбирать знак коэффициента ; он должен быть противоположен знаку свободного члена .

С помощью нормального уравнения прямой легко вычисляется Отклонение точки от прямой:

. (14)

При решении задач полезно иметь в виду, что по разные стороны от прямой отклонение имеет разный знак.

С помощью отклонения легко найти расстояние от произвольной точки до прямой :

. (15)

Напомним еще, что = = = — единичная нормаль прямой. Пусть и — координаты текущей точки прямой , т. е. = — Радиус-вектор этой точки. Нормальное уравнение прямой может быть записано в векторном виде (Векторное уравнение прямой):

: . (16)

Здесь = = = , — угол между векторами и ; — проекция вектора на направление нормали ;

, если , , если ;

— длина проекции , равная расстоянию от начала координат до прямой .

Пример 29. Уравнение прямой, заданной общим уравнением , привести к нормальному виду и найти расстояние от начала координат до этой прямой.

Решение. Найдем коэффициент . Поскольку , то

Разделив общее уравнение прямой на нормирующий множитель , получим нормальное уравнение прямой:

Или

Здесь , — направляющие косинусы нормального вектора прямой; — расстояние от начала координат до прямой .

Пример 30. Стороны треугольника заданы уравнениями: Составить уравнение биссектрисы внутреннего угла треугольника, лежащего против стороны (рис. 25).

Решение. Из систем уравнений

Находим координаты двух вершин , .

Подставляя координаты каждой из вершин и в левую часть уравнения соответствующей противоположной стороны, получим:

Пусть — произвольная точка искомой биссектрисы, расположенная внутри треугольника. Эта точка лежит по ту же сторону от прямой , что и точка , и поэтому . Она лежит по ту же сторону от прямой , что и точка , и поэтому .

Следовательно, расстояния и от точки до сторон треугольника, в силу (3) или (15), задаются формулами:

Так как — точка биссектрисы, то . Отсюда находим уравнение искомой биссектрисы:

< Предыдущая		Следующая >