Глава 04. Исчисление предикатов

Определения

Для упрощения структуры сложных логических рассуждений введем специальные обозначения для некоторых часто встречающихся выражений. Условимся обозначать выражение “для всякого X свойство R выполнено” как X R(X), а выражение “существует по крайней мере один X, обладающий свойством (Предикатом) R” – как X R(X). В выражениях X R(X) и X R(X) обозначения X и X Будем соответственно называть Квантором всеобщности и Квантором существования.

(Чистое) исчисление предикатов (первого порядка) – это формальная теория K, в которой определены следующие компоненты:

Связки	Основные	Ø ®
	Дополнительные	&
Служебные символы		( , )
Кванторы	Всеобщности	"
	Существования	$
Предметные	Константы	A, b, …,a1, b1, …
	Переменные	X, y, …,x1, y1, …
Предметные	Предикаты	P, Q, …
	Функторы	F, g, …

С каждым предикатом и функтором связано некоторое натуральные число, которое называется Арностью или Местностью.

<формула> ::= <атом>|

Ø<формула>|

(<формула>®<формула>)|

"<переменная> <формула>|

$<переменная> <формула>

<атом> ::= <предикат> (<список терминов>)

<список терминов> ::= <терм> | <терм>, <список терминов>

<терм> ::= <константа> |

<переменная> |

<функтор>(< список терминов>)

Пример

"X (Р(Х )® $ У Q(X, Y))

Логическое следование и логическая эквивалентность

Формула В Является Логическим следствием Формулы А (обозначение: А В), Если формула В Выполнена на любом наборе в любой интерпретации, на котором выполнена формула А. Формулы А И В логически эквивалентны (обозначение: А=В), Если они являются логическим следствием друг друга. Имеют место следующие логические следования и эквивалентности:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Где формула С Не содержит никаких вхождений переменной Х.

Упражнения

1. Доказать логические эквивалентности приведенные в параграфе 1.1.

2. Записать квантор всеобщности и квантор существования с использованием операторов конъюнкции и дизъюнкции.

3. Доказать истинность высказывания: «Все люди смертны. Сократ — человек. Следовательно, Сократ смертен».

4. Доказать ложность высказывания: «Все дикари раскрашивают свои лица. Некоторые современные женщины рас­крашивают свои лица. Следовательно, некоторые современные женщины — дикари»

< Предыдущая		Следующая >