Глава 03. Исчисление высказываний

Классическое определение исчисления высказываний

Исчисление высказываний — Это формальная теория L , в которой:

1. Алфавит: Ø и — Связки;

( , ) — служебные символы;

А, B,...,A1, B1,... — Пропозициональные переменные.

2. Формулы: 1) переменные суть формулы;

2) если А, В — Формулы, то (ØA) и (A В) — Формулы.

3. Аксиомы: A1 : (А (В A));

A2 : ((A (ВС)) ((A В) (A С)));

A3 : ((ØВ Ø A) ((ØВ A) В)).

4. Правило .

Здесь А и В — любые Формулы. Таким образом, множество аксиом теории L бесконечно, хотя задано тремя Схемами Аксиом. Множество правил вывода также бесконечно, хотя оно задано только одной Схемой

При записи формул лишние скобки опускаются, если это не вызывает недоразумений. Другие связки вводятся определениями (а не аксиомами):

A&B = Ø (AØB),

AÚВ = ØA В.

Любая формула, содержащая эти связки, рассматривается как синтаксическое сокращение собственной формулы теории L.

Производные правила вывода

ТЕОТЕМА L A A

Доказательство

1. по

2. по

3. из пунктов 1,2

4. по

5. из пунктов 4,3

ТЕОРЕМА А L В

Доказательство

1. A гипотеза

2. по A1

3. из пунктов 1,2

Всякую доказанную выводимость можно использовать как новое (производное) правило вывода. Например, последняя доказанная выводимость называется пра­вилом введения импликации.

Дедукция

В теории L импликация очень тесно связана с выводимостью.

ТЕОРЕМА (дедукции) Если Г, А L В, то Г L А ® В и обратно.

< Предыдущая		Следующая >