Глава 32. Нечеткие множества

Определения

Пусть E - универсальное множество, X - элемент E, а R - некоторое свойство. Обычное (четкое) подмножество A универсального множества E, элементы которого удовлетворяют свойству R, определяется как множество упорядоченных пар

A = {mA (Х) / Х},

Где mA(Х) - Характеристическая функция, принимающая значение 1, если X удовлетворяет свойству R, и 0 - в противном случае.

Нечеткое подмножество отличается от обычного тем, что для элементов X из E нет однозначного ответа "да-нет" относительно свойства R. В связи с этим, нечеткое подмножество A универсального множества E определяется как множество упорядоченных пар A = {mA(Х)/Х}, где
mA(Х) - Характеристическая функция принадлежности (или просто функция принадлежности), принимающая значения в некотором вполне упорядоченном множестве M (например, M = [0,1]). Функция принадлежности указывает Степень (или уровень) принадлежности элемента X подмножеству A. Множество M называют Множеством принадлежностей. Если M = {0,1}, то нечеткое подмножество A может рассматриваться как обычное или четкое множество.

Пример

Пусть E = {X1, x2, x3, x4, x5}, M = [0,1]; A - нечеткое множество, для которого mA(X1)=0,3; mA(X2)=0; mA(X3)=1; mA(X4)=0,5; mA(X5)=0,9. Тогда A можно представить в виде:

A = {0,3/X1; 0/X2; 1/X3; 0,5/X4; 0,9/X5 }

Или

A = 0,3/X1 + 0/X2 + 1/X3 + 0,5/X4 + 0,9/X5.

Пример

Пусть E = {0,1,2,3,...,N,...}. Нечеткое множество "Малый" можно определить:

"Малый" =

Операции над нечеткими множествами

Включение. Пусть A и B - нечеткие множества на универсальном множестве E. Говорят, что A содержится в B, если "X ÎE mA(X) mB(X). Обозначение: A Ì B. Иногда используют термин "Доминирование", т. е. в случае когда A Ì B, говорят, что B доминирует A.

Равенство. A и B равны, если "XÎE mA(X) = mB (X). Обозначение: A = B.

Дополнение. Пусть M = [0,1], A и B - нечеткие множества, заданные на E. A и B дополняют друг друга, если "XÎE mA(X) = 1 - mB(X). Обозначение: B = или A = .

(Дополнение определено для M = [0,1], но очевидно, что его можно определить для любого упорядоченного M).

Пересечение. AÇB - наибольшее нечеткое подмножество, содержащееся одновременно в A и B.

MAÇB(X) = min( mA(X), m B(X)).

Объединение. А È В - наименьшее нечеткое подмножество, включающее как А, так и В, с функцией принадлежности:

MAÈB(X) = max(mA(X), mB(X)).

Разность. А - B = АÇ с функцией принадлежности:

MA-B(X) = mA Ç(X) = min( mA(X), 1 - mB(X)).

Дизъюнктивная сумма.

АÅB = (А - B)È(B - А) = (А Ç) È(Ç B)

С функцией принадлежности:

MA-B(X) = max{[min{mA(X), 1 - mB(X)}];[min{1 - mA(X), mB(X)}] }

Примеры

Пусть:

A = 0,4/ X1 + 0,2/ X2+0/ X3+1/ X4;

B = 0,7/ X1+0,9/ X2+0,1/ X3+1/ X4;

C = 0,1/ X1+1/ X2+0,2/ X3+0,9/ X4.

Здесь AÌB, т. е. A содержится в B или B доминирует A, С Несравнимо ни с A, ни с B, т. е. пары {A, С} и {A, С} - пары недоминируемых нечетких множеств.

A ¹ B ¹ C.

= 0,6/ X1 + 0,8/ x 2 + 1/ X 3 + 0/ x 4;

= 0,3/ x 1 + 0,1/ x 2 + 0,9/ x 3 + 0/ x 4.

AÇB = 0,4/ X 1 + 0,2/ X 2 + 0/ X 3 + 1/ X 4.

АÈВ = 0,7/ X 1 + 0,9/ X 2 + 0,1/ X 3 + 1/ X 4.

А - В = АÇ= 0,3/ X 1 + 0,1/ X 2 + 0/ X 3 + 0/ X 4;

В - А = Ç В = 0,6/ X 1 + 0,8/ X 2 + 0,1/ X 3 + 0/ X 4.

А Å В = 0,6/ X 1 + 0,8/ X 2 + 0,1/ X 3 + 0/ X 4.

Алгебраическое произведение A и B обозначается A×B и определяется так:

"XÎE mA×B (X) = mA(X)mB(X).

Алгебраическая сумма этих множеств обозначается A+B и определяется так:

"XÎE mA+B (X) = m A(X) + mB(X) - mA(X)mB(X).

На основе операции алгебраического произведения (по крайней мере для целых a эта основа очевидна) определяется операция Возведения в степень a нечеткого множества A, где a - положительное число. Нечеткое множество Aa определяется функцией принадлежности mAa = maA(x). Частным случаем возведения в степень являются:

CON(A) = A2 - операция Концентрирования,

DIL(A) = A0,5 - операция Растяжения.

Расстояние между нечеткими множествами

Расстояние ХеммиНга (или Линейное расстояние):

R(A, B) = ½mA(Xi) - mB(Xi)½ .

Очевидно, что r(A, B)Î[0, N].

Евклидово или Квадратичное расстояние:

E(A, B) =, e(A, B)Î[0, ].

< Предыдущая		Следующая >