7.4. Правая часть в виде произведения полинома, экспоненты и гармонической функции

Пусть правая часть неоднородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (7.1) имеет вид

,

Где – многочлен с вещественными коэффициентами степени , то есть

,

и – некоторые числа. Тогда уравнение (7.1) примет вид

. (7.10)

Введем вспомогательное уравнение с комплекснозначной правой частью

. (7.11)

Поскольку в уравнении (7.6) число не обязательно должно было быть вещественным, то уравнение (7.11) можно отнести к этому случаю. Поэтому его частное решение ищем в виде

, (7.12)

Где – кратность числа как корня характеристического уравнения. Перепишем равенство (7.12) в виде

.

Подставим это в уравнение (7.11). Очевидно, производные различных порядков от будут суммами слагаемых вида

,

Где – некоторый многочлен степени , а – натуральное число. При этом многочлен имеет, вообще говоря, комплексные коэффициенты, полученные в результате дифференцирования множителя .

Подставив в (7.11) и сократив полученное уравнение на , приравняем коэффициенты слева и справа при одинаковых степенях . Тогда получим для неизвестных коэффициентов , , , …, систему линейных алгебраических уравнений, коэффициенты которых будут, вообще говоря, комплексными. Поэтому и неизвестные , , , …, , найденные из этой системы, будут, вообще говоря, комплексные. Поэтому (7.12) можно переписать

,

Где и – многочлены с вещественными коэффициентами.

В силу теоремы 2 подраздела 6.1 исходное уравнение (7.10) имеет частное решение в виде мнимой части

,

То есть

.

Окончательно

. (7.13)

Очевидно, если правая часть уравнения (7.1) имеет вид

,

То частное решение ищется по той же формуле (7.13).

Если правая часть уравнения (7.1) имеет вид

,

То на основании принципа суперпозиции снова ищем частное решение в виде (7.13), где – высшая из степеней многочленов и .

При решении конкретных уравнений пользоваться формулой (7.13), как правило, нецелесообразно, а удобнее, как было сделано в общем случае, вводить сначала уравнение с комплексозначной правой частью. Исключение составляет лишь тот случай, когда , и тогда удобнее искать частное решение в виде

.

Пример 7.5. Найти общее решение уравнения

.

Решение. Поскольку

,

То введем вспомогательное уравнение

.

Характеристическое уравнение

Имеет корни , . Общее решение однородного уравнения

.

Поскольку число не совпадает ни с , ни с , то

,

,

.

Подставляя , и в исходное уравнение и сокращая его на , получим:

, .

Отсюда

.

Следовательно,

.

Тогда

,

То есть частное решение

.

Общее решение исходного уравнения

.

< Предыдущая		Следующая >