7.3. Правая часть в виде произведения полинома и экспоненты
Пусть правая часть неоднородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (7.1) имеет вид
,
Где – многочлен степени
, то есть
,
А – некоторое число. Тогда уравнение (7.1) примет вид
. (7.6)
Положим , где
– новая неизвестная функция. Обозначим левую часть уравнения (7.6) через
, а левую часть соответствующего ему характеристического уравнения – через
. Тогда по формуле (3.8) линейного дифференциального оператора для произведения функций получим
.
В силу определения линейного дифференциального оператора (3.4) имеем:
,
,
, …,
,
.
Следовательно,
.
Поэтому, подставляя в уравнение (7.6), получим
.
Сокращая это равенство на , имеем
. (7.7)
Получено неоднородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами вида (7.2) с многочленом в правой части, которое рассмотрено в предыдущем подразделе. При этом возможны два случая.
В первом случае предположим, , то есть значение
не является корнем характеристического уравнения. Тогда частное решение уравнения (7.7) ищется в виде (7.3)
.
Следовательно, частное решение исходного уравнения (7.6) нужно искать в виде
. (7.8)
Во втором случае пусть ,
,
, …,
, но
, то есть значение
является
-кратным корнем характеристического уравнения. Тогда частное решение уравнения (7.7) ищется в виде (7.5)
.
Частное решение исходного уравнения (7.6) нужно искать в виде
. (7.9)
Можно условно считать, что в первом случае будет и из формулы (7.9) получается формула (7.8) как частный случай. То есть, можно условно считать первый случай частным случаем второго. В то же время, формулы (7.3) и (7.5) предыдущего подраздела теперь вытекают из формул (7.8) и (7.9) данного подраздела как частный случай при
.
Если в уравнении (7.1) правая часть есть сумма нескольких слагаемых вида
,
То можно для каждого слагаемого найти соответствующее частное решение, а затем на основании принципа суперпозиции сложить их.
Пример 7.3. Найти общее решение уравнения
.
Решение. Характеристическое уравнение
Имеет корни ,
. Запишем общее решение соответствующего однородного уравнения
.
В данном случае правая часть исходного уравнения имеет вид
.
Поскольку число не совпадает ни с
, ни с
, то частное решение ищем в виде
,
То есть
.
Для такого решения имеем:
,
.
Подставляя ,
и
в исходное уравнение и сокращая его на
, получим
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях и
, имеем:
Отсюда ,
. Итак, частное решение
.
Складывая и
, получим общее решение исходного уравнения
.
Пример 7.4. Найти общее решение уравнения
.
Решение. Характеристическое уравнение
Имеет корни ,
. Общее решение однородного уравнения
.
Правая часть исходного уравнения имеет в данном случае вид
,
Где
,
.
Значит
,
Где
,
.
Итак, полагаем
.
Дифференцируя эту функцию, имеем:
,
,
.
Подставляя ,
,
и
в исходное уравнение, получим
.
После упрощения имеем
.
Приравнивая коэффициенты, получим:
Отсюда ,
,
. Найдено частное решение
.
Общее решение исходного уравнения
.
< Предыдущая | Следующая > |
---|