7.2. Уравнения с правой частью в виде полинома
Пусть правая часть неоднородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (7.1) имеет вид
,
Где – многочлен степени
, то есть
.
Тогда уравнение (7.1) примет вид
. (7.2)
Рассмотрим два случая.
В первом случае предположим, что в уравнении (7.1) . Тогда частное решение уравнения (7.2) можно искать в виде
, (7.3)
Где – некоторый многочлен степени
. Действительно, в этом случае, положим
,
Где – неизвестные коэффициенты. Дифференцируя это равенство, получим:
,
, … .
Подставляя эти производные в уравнение (7.2) и приравнивая коэффициенты в левой и правой частях полученного равенства при одинаковых степенях переменной –
,
,
, …, будем иметь:
Из первого уравнения этой системы найдем , из второго –
, из третьего –
и так далее. Поскольку коэффициент при каждой очередной неизвестной равен
, а
, то числа
,
,
, …,
из этой системы могут быть найдены и при том единственным образом.
Пример 7.1. Найти общее решение уравнения
.
Решение. Характеристическое уравнение
Имеет корни ,
. Следовательно, общее решение соответствующего однородного уравнения
.
Правая часть исходного уравнения имеет в данном случае вид
.
Поскольку , то частное решение ищем в виде
,
То есть
.
Для такого решения имеем:
,
,
.
Подставляя ,
,
и
в исходное уравнение, получим
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ,
и
, имеем:
Отсюда
,
,
.
Итак, частное решение
.
Следовательно, общее решение исходного уравнения
.
Во втором случае пусть и при этом
,
, …,
, но
. Тогда уравнение (7.1) примет вид
. (7.4)
Это дифференциальное уравнение, допускающее понижение порядка. Положим , где
– новая неизвестная функция. Получим для нее уравнение
.
Поскольку , то мы пришли к первому случаю. Поэтому частное решение такого уравнения ищем в виде
,
Где – некоторый многочлен степени
. Если его коэффициенты уже найдены, то для частного решения уравнения (7.4) имеем
.
Интегрируя это равенство раз подряд, получим
.
Здесь ,
, …,
– некоторые определенные числа, а
,
, …,
–произвольные постоянные. Поскольку мы ищем произвольное частное решение уравнения (7.4), то можно положить
, и тогда получим
.
Итак, в этом случае
, (7.5)
Где – некоторый многочлен степени
.
Примечание. Из дифференциального уравнения (7.4) следует, что характеристическое уравнение для второго случая имеет вид
.
Отсюда следует, что корень этого уравнения имеет кратность
. Именно в этом случае равенство (7.5) отличается от (7.3) появлением справа сомножителя
в частном решении. Первый случай может рассматриваться как частный случай второго случая при
. Тогда формула (7.5) превращается в (7.3).
Пример 7.2. Найти общее решение уравнения
.
Решение. Характеристическое уравнение
Имеет корни ,
. Следовательно, общее решение соответствующего однородного уравнения
.
Правая часть исходного уравнения имеет в данном случае вид
.
Поскольку , то частное решение ищем в виде
,
То есть
,
.
Для такого решения имеем:
,
,
.
Подставляя ,
,
и
в исходное уравнение, получим
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях и
, имеем:
Отсюда ,
. Итак, частное решение
.
Складывая и
, получим общее решение исходного уравнения
.
< Предыдущая | Следующая > |
---|