6.2. Общее решение неоднородного линейного уравнения

Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения (6.1) можно получить на основании общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнения по следующей теореме.

Теорема. Общее решение неоднородного линейного уравнения (6.2) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и какого-нибудь частного решения исходного неоднородного уравнения.

Доказательство. Пусть , , …, – фундаментальная система решений однородного уравнения . Тогда его общее решение

.

Пусть – какое-нибудь частное решение неоднородного уравнения (6.2) и . Составим функцию , то есть

. (6.3)

Докажем, что эта функция является общим решением уравнения (6.2). По свойству линейного дифференциального оператора имеем

.

Поскольку при любых значениях произвольных постоянных , , …, , то при любых конкретных значениях , , …, будет , то есть . Следовательно, при любых конкретных значениях , , …, функция (6.3) удовлетворяет неоднородному уравнению (6.2).

Покажем теперь, что для любых начальных условий

, , , …,

Можно так подобрать, и притом единственным образом, значение констант , , …, , что функция (6.3) будет удовлетворять этим начальным условиям.

Дифференцируя функцию (6.3), имеем:

,

,

… … … … … … … … …,

.

Используя начальные условия, получим отсюда:

Перепишем эту систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных , , …, в стандартном виде:

(6.4)

Определителем этой системы является определитель Вронского . Поскольку функции , , …, образуют фундаментальную систему решений однородного линейного уравнения, то они являются линейно независимыми и . Поэтому из системы (6.4) , , …, могут быть найдены и притом единственным образом.

Следовательно, при любых начальных условиях для неоднородного линейного дифференциального уравнения (6.2) можно найти его частное решение. Тем самым доказано, что функция (6.3) представляет общее решение неоднородного уравнения (6.1).

< Предыдущая		Следующая >