5.5. Случай кратных комплексных корней

Рассмотрим случай, когда среди корней характеристического уравнения (5.2) имеются кратные комплексные корни. Пусть, например, пара комплексно-сопряженных корней имеет кратность . Им отвечают частных комплекснозначных решений линейного дифференциального уравнения (5.1):

, , , …, ,

, , , …, .

Из этих решений по формулам Эйлера неособенным линейным преобразованием получим вещественных функций:

, , , …, ,

, , , …, ,

Эти функции также являются решениями дифференциального уравнения (5.1). Поэтому в общем решении линейного уравнения (5.1) -кратной паре комплексно-сопряженных корней будет отвечать слагаемое

.

Это выражение приведем к виду

.

Обозначая

, ,

Получим слагаемое

.

Таким образом, если среди корней характеристического уравнения (5.2) имеется несколько кратных пар комплексных корней, то каждой паре кратности отвечает в общем решении линейного уравнения (5.1) слагаемое

,

Где и – произвольные многочлены степени .

В общем случае, если характеристическому уравнению (5.2) соответствуют различные комбинации простых и кратных, вещественных и комплексных корней, то общее решение дифференциального уравнения (5.1) в силу его линейности записывается в виде суммы решений, представленных в четырех ранее рассмотренных частных случаях.

Пример 5.6. Найти общее решение уравнения

.

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид

,

То есть

.

Корни этого уравнения

, .

Поэтому

.

< Предыдущая		Следующая >