5.2. Случай простых вещественных корней характеристического уравнения

Пусть корни характеристического уравнения (5.2) , , …, вещественные и различные. В этом случае сразу получаем различных решений линейного дифференциального уравнения (5.1):

, , …, .

Докажем, что эти решения образуют фундаментальную систему решений, то есть что они линейно независимы. Для этого предположим противное, то есть что эти функции линейно зависимы. Тогда имеет место тождество

, (5.3)

Где среди чисел , , …, не все равны нулю. Пусть, например, для определённости . Разделив тождество (5.3) на , перепишем его в виде

Дифференцируя это равенство, имеем

Разделив это на , получим

Дифференцируя это тождество, будем иметь

Продолжая этот процесс, в результате получим

А так как , то, сокращая тождество на это выражение, имеем

Поскольку среди чисел , , …, нет одинаковых, то отсюда следует, что , а это противоречит предположению. Поэтому тождество (5.3) возможно тогда и только тогда, когда . Это и доказывает линейную независимость функций

, , …, .

Поскольку эти функции образуют фундаментальную систему решений линейного дифференциального уравнения (5.1), то общее решение этого уравнения может быть записано в виде