5.1. Однородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Однородное линейное дифференциальное уравнение (4.2) называется Уравнением с постоянными коэффициентами, если все его коэффициенты при функции и её производных представляются вещественными числами , , …, , то есть уравнение имеет вид

. (5.1)

Не каждая функция может быть решением этого уравнения. Например, функция , имеющая производные

, , , …, ,

Никак не может удовлетворять уравнению (5.1), поскольку при подстановке этой функции в уравнение слева не может произойти взаимное уничтожение всех слагаемых.

Следуя швейцарскому математику Леонарду Эйлеру, наиболее подходящей функцией для решения уравнения (5.1) представим экспоненциальную функцию , где . Для этой функции все производные

, , , …, ,

Имеют такой же вид, как и сама функция, поэтому обращение левой части дифференциального уравнения (5.1) может стать возможным.

Итак, будем искать решения дифференциального уравнения (5.1) в виде , где – пока что неизвестное число.

Подстановка в уравнение (5.1) дает

.

Так как , то, разделив это равенство на , получим алгебраическое уравнение

. (5.2)

Итак, для того, чтобы функция была решением дифференциального уравнения (5.1), необходимо и достаточно, чтобы было корнем алгебраического уравнения (5.2). Это уравнение называется Характеристическим уравнением Дифференциального уравнения (5.1), а его левая часть называется Характеристическим многочленом.

Характеристическое уравнение (5.2) -й степени имеет корней , , …, , которые могут быть вещественными или комплексными, простыми или кратными. Вид общего решения однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (5.1) существенно зависит от типа корней его характеристического уравнения (5.2). Рассмотрим различные случаи корней характеристического уравнения.

< Предыдущая		Следующая >