4.3. Общее решение однородного линейного уравнения

Представление общего решения однородного линейного дифференциального уравнения (4.2) на основании его фундаментальной системы решений дается следующей теоремой.

Теорема. Если образуют фундаментальную систему решений Однородного линейного дифференциального уравнения (4.2), то его общее решение можно представить в виде

, (4.3)

Где , , …, — произвольные постоянные.

Доказательство. То, что является решением уравнения (4.2) как линейная комбинация его решений вытекает из следствия основных теорем 1 и 2 для однородных линейных дифференциальных уравнений. Следовательно, первое требование, накладываемое на общее решение, выполнено. Покажем теперь, что выполнено и второе требование, то есть решение (4.3) удовлетворяет любому начальному условию вида:

.

Дифференцируя равенство (4.3), получим:

,

,

.

Подставим в эти выражения начальные условия, имеем систему линейных алгебраических уравнений:

Определитель этой системы равен вронскиану , а так как линейно независимы, то . Поэтому, существует единственное решение полученной системы линейных алгебраических уравнений. Следовательно, для любого набора начальных условий найдутся и притом единственным образом такие числовые значения произвольных постоянных , , …, , что решение (4.3) будет удовлетворять этим условиям.

Примечание. Из доказательства теоремы следует, что любое решение однородного линейного дифференциального уравнения (4.2) можно представить в виде линейной комбинации функций , образующих фундаментальную систему решений.

Следствие основных теорем 1 и 2 для однородных линейных дифференциальных уравнений означает, что множество всех решений уравнения (4.2) образует линейное пространство. Из сделанного замечания следует, что функции фундаментальной системы решений образуют в этом пространстве базис. Поскольку этот базис состоит из функций, то пространство решений однородного линейного дифференциального уравнения -го порядка является -мерным.

< Предыдущая		Следующая >