3.5. Определитель Вронского и линейная зависимость функций

Пусть имеется функций , , …, , дифференцируемых в интервале . Составим по ним и их производным определитель -го порядка

.

Этот определитель называется Определителем Вронского, или Вронскианом функций , , …, . Поскольку при данных , , …, вронскиан является функцией от переменной , то его обозначают еще . Этот определитель используют для доказательства линейной зависимости функций. Существует следующее необходимое условие линейной зависимости функций.

Теорема 1. Если функции , , …, , имеющие производные до порядка включительно, линейно зависимы на интервале , то на этом интервале их определитель Вронского тождественно равен нулю.

Доказательство. Пусть данная система функций линейно зависима на интервале . По этому условию существуют такие числа , , …, , не все равные нулю, что для всех будет выполняться тождество (11). Продифференцируем это тождество последовательно раз. Получим в результате систему уравнений:

При любом эта система является линейной однородной системой линейных алгебраических уравнений с неизвестными , , …, . Но по условию эта система имеет ненулевые решения, а значит ее определитель равен нулю. Но определителем этой системы является определитель Вронского. Следовательно, при любом постоянном значении , а это значит, что на интервале .

Утверждение обратное данной теореме, вообще говоря, неверно, то есть равенство нулю вронскиана не означает линейную зависимость функций. Это лишь необходимое условие линейной зависимости функций.

Рассуждением от противного доказывается следующая теорема.

Теорема 2. Если определитель Вронского системы функций не равен тождественно нулю в некотором интервале , то эти функции линейно независимы в этом интервале.

< Предыдущая		Следующая >